Curve polari
Salve a tutti: oggi ho affrontato le curve polari (non abbiamo speso molto tempo su di esse tuttavia). Riporto la definizione datami:
$\phi = {x = \rho(\theta)cos\theta, y = \rho(\theta)sin\theta}$ ove $\theta \in I \sube R $ e $\rho:I\to [0,+\infty[, "continua"$
Poi è stato fatto l'esempio della spirale d'archimede e altri calcoli abbastanza innocui.
Tuttavia, una cosa non mi è chiara:come riconoscere se un sostegno (dove con sostegno intendo $Im(\phi)$) può essere o meno sostegno di una curva polare, solamente guardando il grafico : per esempio il grafico qui sotto, secondo quanto detto dalla professoressa, non potrebbe esserlo. Lei ha spiegato la motivazione ma non avendola capita non sono riuscito a scriverla. Ho provato a capire perché e l'unica possibilità dovrebbe essere legata al fatto che nel punto in cui il sostegno ha una sorta di "rientranza" (spero si capisca non so come definirlo) se traccio i segmenti che legano l'origine ai punti del sostegno, in quella parte di sostegno dovrei "tornare indietro". Tuttavia ho controllato anche altri esempi di curve polari e una cosa così non accade mai. Però non saprei dare una motivazione formale. Se qualcuno potesse aiutarmi mi sarebbe di grande aiuto. Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere
$\phi = {x = \rho(\theta)cos\theta, y = \rho(\theta)sin\theta}$ ove $\theta \in I \sube R $ e $\rho:I\to [0,+\infty[, "continua"$
Poi è stato fatto l'esempio della spirale d'archimede e altri calcoli abbastanza innocui.
Tuttavia, una cosa non mi è chiara:come riconoscere se un sostegno (dove con sostegno intendo $Im(\phi)$) può essere o meno sostegno di una curva polare, solamente guardando il grafico : per esempio il grafico qui sotto, secondo quanto detto dalla professoressa, non potrebbe esserlo. Lei ha spiegato la motivazione ma non avendola capita non sono riuscito a scriverla. Ho provato a capire perché e l'unica possibilità dovrebbe essere legata al fatto che nel punto in cui il sostegno ha una sorta di "rientranza" (spero si capisca non so come definirlo) se traccio i segmenti che legano l'origine ai punti del sostegno, in quella parte di sostegno dovrei "tornare indietro". Tuttavia ho controllato anche altri esempi di curve polari e una cosa così non accade mai. Però non saprei dare una motivazione formale. Se qualcuno potesse aiutarmi mi sarebbe di grande aiuto. Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere
Risposte
In base alla definizione, $\rho$ deve essere una funzione di $\theta$: fissato l'angolo nell'intervallo, il valore $\rho(\theta)$ deve essere univocamente determinato. Dal punto di vista geometrico, nel momento in cui fissi $\theta$, stai considerando la semiretta uscente dall origine che forma l'angolo $\theta$ con l'asse delle ascisse positive. $\rho(\theta)$ rappresenta una distanza, che chiamo d, e individua il punto della semiretta che ha esattamente questa distanza d dall'origine.
Proprio perché $\rho$ è una funzione, ci aspettiamo che il punto individuato sia unico.
La curva dell'esempio non può essere espressa globalmente in forma polare, perché c'è una "rientranza" che rompe la definizione.
Purtroppo non è così immediato comprendere se una curva è globalmente esprimibile in forma polare perché interviene il concetto di "giro". Intuitivamente, le semirette uscenti dall'origine devono intersecare la curva al massimo una volta "per giro" per far sì che essa possa essere esprimibile in forma polare.
Proprio perché $\rho$ è una funzione, ci aspettiamo che il punto individuato sia unico.
La curva dell'esempio non può essere espressa globalmente in forma polare, perché c'è una "rientranza" che rompe la definizione.
Purtroppo non è così immediato comprendere se una curva è globalmente esprimibile in forma polare perché interviene il concetto di "giro". Intuitivamente, le semirette uscenti dall'origine devono intersecare la curva al massimo una volta "per giro" per far sì che essa possa essere esprimibile in forma polare.
è come pensavo allora, grazie mille per la precisazione. Si immagino che sia difficile nel caso di curve più complesse, infatti quest'esercizio l'abbiamo fatto all'inizio della lezione per vari tipi di curve "standard", come la spirale di archimede per esempio. Ma non era nulla di formale, solo un'introduzione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo