Curve parametrizzate
Salve a tutti..ho bisogno del vostro aiuto..io ho il seguente esecizio: data la curva r:[0,2pigreco]--->R^3 parametrizzata da r(t)= ( 1+cost, sent, 2sen (t/2) ) : a)calcolare il riferimento di Frenet della curva nel punto (2,0,0) b) Calcolare la curvatura nello stesso punto di prima e c) MOSTRARE CHE LA CURVA è CONTENUTA IN UNA SFERA,DI CUI SI RICHIEDONO CENTRO E RAGGIO...Ora per i primi due punti non ho difficoltà ma per quanto riguarda l'ultimo punto si..me lo potreste spiegare in maniera semplice e chiara perfavore???? Grazie a tutti.
Risposte
prova a calcolare $||r(t)||$ e vedi cosa viene...
Paola
Paola
Si tratta di determinare se esistono quattro numerini $x_0,y_0,z_0 in RR$ e $rho>0$ in modo che risulti:
$(x(t)-x_0)^2+(y(t)-y_0)^2+(z(t)-z_0)^2=r^2$
per ogni $t in [0,2pi]$.
Credo basti calcolare il raggio di curvatura $rho(t)$ della curva (tieni presente che $rho(t)=1/(k(t))$ ove $k(t)$ è la curvatura*): se tale raggio si mantiene costante, ossia se $rho(t)=rho$, allora c'è qualche probabilità che la tua curva sia contenuta in una sfera di raggio $rho$.
Se tale circostanza, cioè $rho(t)=rho$, si verifica effettivamente allora per ogni fissato $t$ puoi calcolare il centro del cerchio osculatore della curva ricordando che:
$C(t)=r(t)-rho(t)*N(t)$
ove $r(t)$ è il punto della tua curva ed $N(t)$ è il versore normale alla tua curva in $r(t)$; visto che $N(t)=(r''(t))/(k(t))$, la precedente formula si può scrivere anche come:
$C(t)=r(t)-1/(k^2(t)) r''(t)$.
Se la funzione $C(t)$ è costante, ossia se $C(t)=C=(x_0,y_0,z_0)$, allora tutti i cerchi osculatori sono contenuti nella sfera di centro $C$ e raggio $rho$; ed in tal caso anche la tua curva è tutta contenuta in tale sfera.
__________
* Tieni presente che, se $r(t)$ non è una parametrizzazione secondo l'ascissa curvilinea, allora:
$k(t)=|r'\times r''|/|r'|^3\quad$ (qui $\times$ indica il prodotto vettoriale di $RR^3$.
$(x(t)-x_0)^2+(y(t)-y_0)^2+(z(t)-z_0)^2=r^2$
per ogni $t in [0,2pi]$.
Credo basti calcolare il raggio di curvatura $rho(t)$ della curva (tieni presente che $rho(t)=1/(k(t))$ ove $k(t)$ è la curvatura*): se tale raggio si mantiene costante, ossia se $rho(t)=rho$, allora c'è qualche probabilità che la tua curva sia contenuta in una sfera di raggio $rho$.
Se tale circostanza, cioè $rho(t)=rho$, si verifica effettivamente allora per ogni fissato $t$ puoi calcolare il centro del cerchio osculatore della curva ricordando che:
$C(t)=r(t)-rho(t)*N(t)$
ove $r(t)$ è il punto della tua curva ed $N(t)$ è il versore normale alla tua curva in $r(t)$; visto che $N(t)=(r''(t))/(k(t))$, la precedente formula si può scrivere anche come:
$C(t)=r(t)-1/(k^2(t)) r''(t)$.
Se la funzione $C(t)$ è costante, ossia se $C(t)=C=(x_0,y_0,z_0)$, allora tutti i cerchi osculatori sono contenuti nella sfera di centro $C$ e raggio $rho$; ed in tal caso anche la tua curva è tutta contenuta in tale sfera.
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* Tieni presente che, se $r(t)$ non è una parametrizzazione secondo l'ascissa curvilinea, allora:
$k(t)=|r'\times r''|/|r'|^3\quad$ (qui $\times$ indica il prodotto vettoriale di $RR^3$.
Ti ringrazio Gugo 82 per la tua risposta,ma non riesco a capire il punto di coordinate Xo,Yo e Zo quando sviluppo i calcoli e sostituisco tutto nell'equazione generale della sfera lascio queste di coordinate oppure devo scegliere un punto...se si quale ????
Se ti sapessi rispondere senza fare i conti sarebbe strano, no? 
La difficoltà del problema sta proprio determinare $x_0,y_0,z_0$ e $rho$...
Evidentemente se segui il consiglio di prime_number (di cui non avevo visto il post) e ti esce che $||r(t)||="costante"$, allora la tua curva è contenuta nella sfera di centro $o=(0,0,0)$ e raggio $\sqrt("costante")$; se il calcolo di $||r(t)||$ non porta a nulla, devi fare con il raggio di curvatura ed il centro di curvatura come ti ho detto prima.
La difficoltà del problema sta proprio determinare $x_0,y_0,z_0$ e $rho$...
Evidentemente se segui il consiglio di prime_number (di cui non avevo visto il post) e ti esce che $||r(t)||="costante"$, allora la tua curva è contenuta nella sfera di centro $o=(0,0,0)$ e raggio $\sqrt("costante")$; se il calcolo di $||r(t)||$ non porta a nulla, devi fare con il raggio di curvatura ed il centro di curvatura come ti ho detto prima.
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