Curve integrali e azione aggiunta
Mi servirebbe un aiutino per formalizzare in maniera decente gli argomenti che seguono.
Consideriamo il campo vettoriale [tex]$V = x \frac{\partial}{\partial x}$[/tex] e cerchiamo la curva integrale che passa per il punto [tex]x_{0}[/tex].
Per fare questo dobbiamo risolvere l'equazione differenziale associata [tex]$\frac{\partial x(\lambda)}{\partial \lambda} = x(\lambda)$[/tex] con [tex]$x(0) = x_{0}$[/tex]. La soluzione è evidentemente [tex]$x(\lambda) = x_{0} e^{\lambda}$[/tex].
Tuttavia conosco un altro modo, che per quanto mi riguarda è ispirato dalla meccanica quantistica. Si tratta di calcolare come trasforma l'operatore [tex]x[/tex] sotto l'operatore [tex]V[/tex] (volendo posso mettere le [tex]i[/tex] per renderlo unitario, ma qui non è importante).
Allora la trasformazione è data da [tex]$x^{\prime} = e^{\lambda V} x e^{- \lambda x V} x = e^{\lambda Ad_{V}} x$[/tex], dove [tex]$Ad_{V}(x) = [V, x]$[/tex] è l'azione aggiunta di [tex]V[/tex].
Questa espressione è definita dallo sviluppo in serie
[tex]$e^{\lambda Ad_{V}} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!} Ad_{V}^{n}(x) = 1 + \lambda [V, x] + \frac{\lambda^{2}}{2}[V, [V, x]] + \dots$[/tex]
Si dimostra facilmente per induzione che [tex]$Ad_{V}^{n}(x) = x$[/tex]. Allora abbiamo
[tex]$x^{\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!} Ad_{V}^{n}(x) = x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!} = x e^{\lambda}$[/tex]
Specializzando la trasformazione al punto [tex]x_{0}[/tex] abbiamo [tex]$x(\lambda) = x_{0} e^{\lambda}$[/tex].
Ora la mia questione è come formalizzare l'uguaglianza di questi due modi di procedere. In qualche modo dovrei arrivare a dire che questo modo di procedere (chiaramente descritto in maniera più geometrica, con l'azione aggiunta definita sullo spazio tangente) è equivalente a trovare la curva integrale con il primo metodo. Qualche idea?
Consideriamo il campo vettoriale [tex]$V = x \frac{\partial}{\partial x}$[/tex] e cerchiamo la curva integrale che passa per il punto [tex]x_{0}[/tex].
Per fare questo dobbiamo risolvere l'equazione differenziale associata [tex]$\frac{\partial x(\lambda)}{\partial \lambda} = x(\lambda)$[/tex] con [tex]$x(0) = x_{0}$[/tex]. La soluzione è evidentemente [tex]$x(\lambda) = x_{0} e^{\lambda}$[/tex].
Tuttavia conosco un altro modo, che per quanto mi riguarda è ispirato dalla meccanica quantistica. Si tratta di calcolare come trasforma l'operatore [tex]x[/tex] sotto l'operatore [tex]V[/tex] (volendo posso mettere le [tex]i[/tex] per renderlo unitario, ma qui non è importante).
Allora la trasformazione è data da [tex]$x^{\prime} = e^{\lambda V} x e^{- \lambda x V} x = e^{\lambda Ad_{V}} x$[/tex], dove [tex]$Ad_{V}(x) = [V, x]$[/tex] è l'azione aggiunta di [tex]V[/tex].
Questa espressione è definita dallo sviluppo in serie
[tex]$e^{\lambda Ad_{V}} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!} Ad_{V}^{n}(x) = 1 + \lambda [V, x] + \frac{\lambda^{2}}{2}[V, [V, x]] + \dots$[/tex]
Si dimostra facilmente per induzione che [tex]$Ad_{V}^{n}(x) = x$[/tex]. Allora abbiamo
[tex]$x^{\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!} Ad_{V}^{n}(x) = x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!} = x e^{\lambda}$[/tex]
Specializzando la trasformazione al punto [tex]x_{0}[/tex] abbiamo [tex]$x(\lambda) = x_{0} e^{\lambda}$[/tex].
Ora la mia questione è come formalizzare l'uguaglianza di questi due modi di procedere. In qualche modo dovrei arrivare a dire che questo modo di procedere (chiaramente descritto in maniera più geometrica, con l'azione aggiunta definita sullo spazio tangente) è equivalente a trovare la curva integrale con il primo metodo. Qualche idea?
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