Curve e rette aventi stessa lunghezza
Pensavo a un’altra definizione di ‘curva rettificabile’, a meno che già esista e ne volevo parlare con voi.
Considerando curve regolari, sappiamo che in generale le curve(funzioni continue) sono omotope per mezzo della seguente omotopia:
$•$ $x,y:I->V$ con $IsubseteqRR$ e $V$ spazio normato su $RR$ di dimensione finita.
$•$ $h:Itimes[0,1]->V$
definita come $h(t,lambda)=lambda*x(t)+(1-lambda)*y(t)$
Pensavo di considerare una curva ‘rettificabile’ se esiste una retta, tale che la curva sia della stessa lunghezza di un segmento della stessa retta con cui è omotopa.
Chiaramente tutte le curve regolari ammettono lunghezza finita e ho notato questa cosa:
Consideriamo una curva $phi:[a,b]->V$ regolare.
Pongo $int_(a)^(b)||phi’(t)||dt:=L(phi)$
Allora esiste la retta $r:[a,b]->V$ definita come
$r(t)=(L(phi))/(||vec(v)||*(b-a))*tvec(v)$ con $||v||ne0$
$•$ $r,phi$ sono omotope per mezzo di
$h(t,lambda)=lambdaphi(t)+(1-lambda)r(t)$ con $(t,lambda) in[a,b]times[0,1]$
$•$ si ha $L(phi)=L(r)$
Intuitivamente da un’idea di come il sostegno possa essere deformato in una retta e di come due curve equivalenti non sempre definiscano curve di stessa lunghezza.
Non sarebbe meglio considerare questo per vedere quando due curve effettivamente definiscano in tutto e per tutto lo stesso sostegno, quando possono essere deformate nella stessa retta?
Considerando curve regolari, sappiamo che in generale le curve(funzioni continue) sono omotope per mezzo della seguente omotopia:
$•$ $x,y:I->V$ con $IsubseteqRR$ e $V$ spazio normato su $RR$ di dimensione finita.
$•$ $h:Itimes[0,1]->V$
definita come $h(t,lambda)=lambda*x(t)+(1-lambda)*y(t)$
Pensavo di considerare una curva ‘rettificabile’ se esiste una retta, tale che la curva sia della stessa lunghezza di un segmento della stessa retta con cui è omotopa.
Chiaramente tutte le curve regolari ammettono lunghezza finita e ho notato questa cosa:
Consideriamo una curva $phi:[a,b]->V$ regolare.
Pongo $int_(a)^(b)||phi’(t)||dt:=L(phi)$
Allora esiste la retta $r:[a,b]->V$ definita come
$r(t)=(L(phi))/(||vec(v)||*(b-a))*tvec(v)$ con $||v||ne0$
$•$ $r,phi$ sono omotope per mezzo di
$h(t,lambda)=lambdaphi(t)+(1-lambda)r(t)$ con $(t,lambda) in[a,b]times[0,1]$
$•$ si ha $L(phi)=L(r)$
Intuitivamente da un’idea di come il sostegno possa essere deformato in una retta e di come due curve equivalenti non sempre definiscano curve di stessa lunghezza.
Non sarebbe meglio considerare questo per vedere quando due curve effettivamente definiscano in tutto e per tutto lo stesso sostegno, quando possono essere deformate nella stessa retta?
Risposte
Non ho capito la domanda. Ma mi sembra che tu non abbia fatto niente. Hai solo costruito un segmento avente la stessa lunghezza della curva data. Nel fare questo usi il fatto che la curva sia rettificabile, altrimenti \(L(\phi)\) sarebbe \(+\infty\) e la definizione perderebbe di senso.
Forse vuoi pensare di caratterizzare le curve rettificabili come le curve omotope a segmenti di lunghezza finita? Questa caratterizzazione non può funzionare, perché l'omotopia non preserva le lunghezze. Per esempio, una circonferenza di raggio \(R\) (lunghezza \(2\pi R\)) è omotopa a qualsiasi altra circonferenza nel piano, e persino ad un punto (lunghezza \(0\)).
Forse vuoi pensare di caratterizzare le curve rettificabili come le curve omotope a segmenti di lunghezza finita? Questa caratterizzazione non può funzionare, perché l'omotopia non preserva le lunghezze. Per esempio, una circonferenza di raggio \(R\) (lunghezza \(2\pi R\)) è omotopa a qualsiasi altra circonferenza nel piano, e persino ad un punto (lunghezza \(0\)).
Parlo della seconda cosa che hai scritto.
L’idea non è quella che l’omotopia debba preservare la lunghezza.
Per esempio le curve $x(t)=(cos(x),sin(x))$ e $y(t)=(cos(2x),sin(2x)$ in $[0,2pi]$ hanno lo stesso sostegno ma lunghezze diverse. Quello che ne viene fuori è che ‘$y$ può essere deformata in una retta più lunga di $x$’.
Quindi l’idea è di stabilire una relazione che non solo leghi due curve aventi lo stesso sostegno, ma che possono essere ‘allungate’ in due segmenti avendo la stessa lunghezza
Per esempio se $y$ la considerassimo in $[0,pi]$ allora (ovviamente sono equivalenti, con cambio di parametro $f(t)=2t$) ma hanno anche la particolarità che possono essere deformate entrambe in due segmenti aventi la stessa lunghezza.
L’idea non è quella che l’omotopia debba preservare la lunghezza.
Per esempio le curve $x(t)=(cos(x),sin(x))$ e $y(t)=(cos(2x),sin(2x)$ in $[0,2pi]$ hanno lo stesso sostegno ma lunghezze diverse. Quello che ne viene fuori è che ‘$y$ può essere deformata in una retta più lunga di $x$’.
Quindi l’idea è di stabilire una relazione che non solo leghi due curve aventi lo stesso sostegno, ma che possono essere ‘allungate’ in due segmenti avendo la stessa lunghezza
Per esempio se $y$ la considerassimo in $[0,pi]$ allora (ovviamente sono equivalenti, con cambio di parametro $f(t)=2t$) ma hanno anche la particolarità che possono essere deformate entrambe in due segmenti aventi la stessa lunghezza.
Purtroppo, come spesso mi succede nel leggere i tuoi post, non riesco a capire quale sia la domanda, esattamente (ma stai migliorando). "Stabilire una relazione che leghi due curve con lo stesso sostegno" non è che sia tanto difficile: diciamo che due curve \(\phi_1, \phi_2\) sono in relazione se e solo se esse hanno lo stesso sostegno. Fine. 
Altra cosa è trovare una caratterizzazione analitica di questo fatto, ed è a questo che servono i cambi di parametrizzazione.
Quanto al primo esempio:
Può essere deformata con quale omotopia? Perché se ammetti omotopie diverse, proprio perché l'omotopia non preserva la lunghezza, allora la cosa che dici non è vera: puoi trovare una omotopia che deforma \(x\) in un segmento di lunghezza un milione di km e \(y\) in un punto. Siccome le due curve hanno un dominio diverso, non puoi considerare la stessa omotopia per tutte e due. E infine, se consideri solo l'omotopia "combinazione convessa" del tuo post precedente, solo per poterla definire già devi sapere che le due curve sono rettificabili e devi pure conoscerne la lunghezza. Quindi non ha senso usare una costruzione per misurare le lunghezze se per fare la suddetta costruzione devi conoscere le lunghezze a priori.
Insomma, tutto questo mi sembra più che altro una masturbazione mentale. Apprezzo la curiosità ma credo sia meglio che tu lasci perdere per dedicarti a qualcosa di più concreto. Come va con gli esami? Ti sconsiglio di rimanere troppo indietro.
Altra cosa è trovare una caratterizzazione analitica di questo fatto, ed è a questo che servono i cambi di parametrizzazione.
Quanto al primo esempio:
L’idea non è quella che l’omotopia debba preservare la lunghezza.
Per esempio le curve x(t)=(cos(x),sin(x)) e y(t)=(cos(2x),sin(2x) in [0,2π] hanno lo stesso sostegno ma lunghezze diverse. Quello che ne viene fuori è che ‘y può essere deformata in una retta più lunga di x’.
Può essere deformata con quale omotopia? Perché se ammetti omotopie diverse, proprio perché l'omotopia non preserva la lunghezza, allora la cosa che dici non è vera: puoi trovare una omotopia che deforma \(x\) in un segmento di lunghezza un milione di km e \(y\) in un punto. Siccome le due curve hanno un dominio diverso, non puoi considerare la stessa omotopia per tutte e due. E infine, se consideri solo l'omotopia "combinazione convessa" del tuo post precedente, solo per poterla definire già devi sapere che le due curve sono rettificabili e devi pure conoscerne la lunghezza. Quindi non ha senso usare una costruzione per misurare le lunghezze se per fare la suddetta costruzione devi conoscere le lunghezze a priori.
Insomma, tutto questo mi sembra più che altro una masturbazione mentale. Apprezzo la curiosità ma credo sia meglio che tu lasci perdere per dedicarti a qualcosa di più concreto. Come va con gli esami? Ti sconsiglio di rimanere troppo indietro.
gli esami vanno molto bene, con parecchia soddisfazione. A breve daró gli esami di algebra 1 e fisica 1 che ho pronte da sei mesi ma ho ‘rimandato’ per alcuni impegni.
Ora sto preparando analisi 2, geometria 2 e due materie finanziarie.
Tornando al problema: l’omotopia che considero è quella scritta sopra, ovviamente le omotopie sono diverse perché due curve in generale le considero su intervalli diversi. Non appena avrò modo di concludere quello che intendo, lo aggiungo in questo post perché giustamente alterno lo studio per l’università e il curiosare pesantemente.
Una cosa, potresti dare un’occhiata a questa dimostrazione? non se la fila nessuno!
Ora sto preparando analisi 2, geometria 2 e due materie finanziarie.
Tornando al problema: l’omotopia che considero è quella scritta sopra, ovviamente le omotopie sono diverse perché due curve in generale le considero su intervalli diversi. Non appena avrò modo di concludere quello che intendo, lo aggiungo in questo post perché giustamente alterno lo studio per l’università e il curiosare pesantemente.
Una cosa, potresti dare un’occhiata a questa dimostrazione? non se la fila nessuno!
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