Curve e funzioni vettoriali
Una cosa: le curve e le funzioni vettoriali sono due cose diverse in teoria no?
Stavo pensando a questa cosa in merito alla derivazione delle curve.
Se considero $x:I->RR^n$ con $I$ aperto di $RR$ e $RR^n$ insieme di punti la quantità $(x(t)-x(t_0))/(t-t_0)$ è un vettore di $RR^n$
Pertanto la derivata di una curva in un punto assume il significato di vettore tangente al sostegno.
Mentre considerando $RR^n$ ho semplicemente che la derivata di una funzione vettoriale è un vettore.
Diciamo che non mi sembra una sottigliezza
Stavo pensando a questa cosa in merito alla derivazione delle curve.
Se considero $x:I->RR^n$ con $I$ aperto di $RR$ e $RR^n$ insieme di punti la quantità $(x(t)-x(t_0))/(t-t_0)$ è un vettore di $RR^n$
Pertanto la derivata di una curva in un punto assume il significato di vettore tangente al sostegno.
Mentre considerando $RR^n$ ho semplicemente che la derivata di una funzione vettoriale è un vettore.
Diciamo che non mi sembra una sottigliezza
Risposte
Qual è la tua definizione di curva? E qual è la tua def. di funzione vettoriale?
Poi non ho capito bene la tua argomentazione, cioè prima vedi $\mathbb{R^n}$ solo come insieme di punti(insomma senza metrica, senza topologia, senza struttura di spazio affine o vettoriale), poi lo vedi come spazio vettoriale?
Ciao!
Poi non ho capito bene la tua argomentazione, cioè prima vedi $\mathbb{R^n}$ solo come insieme di punti(insomma senza metrica, senza topologia, senza struttura di spazio affine o vettoriale), poi lo vedi come spazio vettoriale?
Ciao!
si sono stato molto vago.
Una curva è una funzione $x: I->X$ dove $X$ è uno spazio topologico e $I$ un intervallo di $RR$. Mentre per quanto riguarda la funzione vettoriale, il codominio è uno spazio vettoriale.
Nel caso in cui $X=RR^n$ con la solita definizione degli aperti, in merito ai punti interni, la curva diventa $x:I->RR^n$
Ovviamente posso dotare lo spazio topologico $RR^n$ della struttura affine con l’applicazione che mi associa a due punti di $RR^n$ un vettore di $RR^n$.
Quindi la derivata di una curva la vedo proprio come un vettore.
O in generale la differenza di punti dello spazio topologico $RR^n$ la vedo come un vettore
Una curva è una funzione $x: I->X$ dove $X$ è uno spazio topologico e $I$ un intervallo di $RR$. Mentre per quanto riguarda la funzione vettoriale, il codominio è uno spazio vettoriale.
Nel caso in cui $X=RR^n$ con la solita definizione degli aperti, in merito ai punti interni, la curva diventa $x:I->RR^n$
Ovviamente posso dotare lo spazio topologico $RR^n$ della struttura affine con l’applicazione che mi associa a due punti di $RR^n$ un vettore di $RR^n$.
Quindi la derivata di una curva la vedo proprio come un vettore.
O in generale la differenza di punti dello spazio topologico $RR^n$ la vedo come un vettore
"anto_zoolander":
Una curva è una funzione $x: I->X$ dove $X$ è uno spazio topologico e $I$ un intervallo di $RR$.
Forse volevi dire continua? Mandare un numero reale \(x\in[0,15]\) nella sua parte frazionaria è una "curva" piuttosto strana
Esattamente 
Per il resto è corretto quanto ho detto? Questa cosa di punti e vettori ogni volta crea queste differenze sostanziali
Per il resto è corretto quanto ho detto? Questa cosa di punti e vettori ogni volta crea queste differenze sostanziali
"anto_zoolander":
Esattamente
Per il resto è corretto quanto ho detto? Questa cosa di punti e vettori ogni volta crea queste differenze sostanziali
Dal basso della mia conoscenza della matematica ti direi che, nelle definizione così poste, una curva $x:I \to \mathbb{R^n}$ si può vedere come una particolare funzione vettoriale, in generale però i concetti sono diversi: il codominio di una curva è uno spazio topologico a caso, il codominio di una funzione vettoriale è uno spazio vettoriale. Per quanto riguarda la distinzione di fra "punti" e "vettori": sì sono due concetti diversi, per esempio perché se gli elementi sono punti allora vedi $\mathbb{R^n}$ come insieme o come spazio topologico o come spazio affine, se gli elementi sono vettori stai vedendo $\mathbb{R^n}$ come spazio vettoriale; nel tuo esempio $\mathbb{R^n}$ non solo è uno spazio topologico ma è anche uno spazio vettoriale(ad anche uno spazio affine), le due cose poi si sposano bene perché la topologia euclidea è indotta dalla norma.
Aspettiamo commenti di persone più sagge.
È un’orgia di strutture tutte insieme 
C'è un po' di confusione con le strutture. Per fare calcolo differenziale ci vuole uno spazio vettoriale: per definizione il differenziale è una approssimazione *lineare*. Ci vuole poi una nozione di limite, perché questa approssimazione deve essere esatta al primo ordine. E siccome non è il momento di andarsi a invischiare in questioni matematiche sottili, consideriamo spazi vettoriali reali di dimensione finita. In conclusione: possiamo fare calcolo differenziale con funzioni definite in \(\mathbb R^n\) (o in un aperto) e a valori in \(\mathbb R^m\):
\[
f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m.\]
Detto questo, c'è una differenza sostanziale tra il caso \(n=1\) e quello \(n\ge 2\), come intuito da anto. Nel primo caso, \(f\colon \mathbb R \to \mathbb R^m\) viene interpretata come una *curva*, il suo dominio è ordinato, per cui si può parlare di derivate destre e sinistre. Ma ancora più importante è il fatto che, in questo caso, la derivata di \(f\) è una applicazione con lo stesso dominio e codominio di \(f\):
\[
f'\colon \mathbb R\to \mathbb R^m.\]
Nel caso generale \(n\ge 2\), invece, non si parla di "derivata" ma di "differenziale" (anche se questa è una sottigliezza che esiste solo in italiano). Assumendo che \(f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m\), e denotando il differenziale con \(df\), abbiamo che
\[
df\colon \mathbb R^n \to L(\mathbb R^n; \mathbb R^m), \]
dove \(L(\mathbb R^n;\mathbb R^m)\) è lo spazio delle applicazioni lineari di \(\mathbb R^n\) in \(\mathbb R^m\). Siccome \(L(\mathbb R; \mathbb R^m)\) si può identificare con \(\mathbb R^m\), ritroviamo la derivata \(f'\) quando \(n=1\).
Mi piace molto il libro "Undergraduate analysis" di Serge Lang per queste cose.
\[
f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m.\]
Detto questo, c'è una differenza sostanziale tra il caso \(n=1\) e quello \(n\ge 2\), come intuito da anto. Nel primo caso, \(f\colon \mathbb R \to \mathbb R^m\) viene interpretata come una *curva*, il suo dominio è ordinato, per cui si può parlare di derivate destre e sinistre. Ma ancora più importante è il fatto che, in questo caso, la derivata di \(f\) è una applicazione con lo stesso dominio e codominio di \(f\):
\[
f'\colon \mathbb R\to \mathbb R^m.\]
Nel caso generale \(n\ge 2\), invece, non si parla di "derivata" ma di "differenziale" (anche se questa è una sottigliezza che esiste solo in italiano). Assumendo che \(f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m\), e denotando il differenziale con \(df\), abbiamo che
\[
df\colon \mathbb R^n \to L(\mathbb R^n; \mathbb R^m), \]
dove \(L(\mathbb R^n;\mathbb R^m)\) è lo spazio delle applicazioni lineari di \(\mathbb R^n\) in \(\mathbb R^m\). Siccome \(L(\mathbb R; \mathbb R^m)\) si può identificare con \(\mathbb R^m\), ritroviamo la derivata \(f'\) quando \(n=1\).
Mi piace molto il libro "Undergraduate analysis" di Serge Lang per queste cose.
Per fare calcolo differenziale ci vuole una varietà differenziale
Fixed.
Avevo pensato di scrivere una appendice: "generalizzazioni". Ci sono varie strade in cui il discorso si generalizza: invece di uno spazio vettoriale uno può considerare un *fibrato* vettoriale, ovvero uno spazio a cui in ogni punto viene appeso uno spazio vettoriale. In effetti quando qualcuno fa calcolo differenziale ha bisogno di uno spazio vettoriale solo nel punto in cui si è messo, quello che succede lontano da quel punto non è rilevante. E questo ragionamento porta al concetto di varietà differenziabile che dice killing_buddha. Un'altra strada è considerare spazi vettoriali complessi, che porta all'analisi complessa e alle varietà complesse. E perché spazi di dimensione finita? Eccetera.
Però poi ho pensato di lasciare perdere e di non scrivere nessuna appendice.
Però poi ho pensato di lasciare perdere e di non scrivere nessuna appendice.
Scusate il ritardo ma non l’ho proprio visto (per ritardo intendo quello mentale).
Sei stato chiarissimo, come sempre ti ringrazio!
Sei stato chiarissimo, come sempre
ti ringrazio!
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