Curve di livello e gradiente
Non ho mai trovato un'esercizio simile in un esame, e non mi sembra che l'argomento ci sia stato nemmeno accennato a lezione. Ma tant'è, me lo sono ritrovato in uno degli ultimi compiti.
Il testo è il seguente:
Dimostra che la funzione $h(x,y)=x^2+y^2$ è differenziabile in tutto $R^2$. Quindi disegnane le curve di livello ed il gradiente nei punti $(1,1)$, $(1,0)$ e $(-2,1)$.
Il dominio della funzione è tutto $R^2$, quindi la funzione è continua ovunque.
Le derivate parziali prime (rispettivamente $h_x(x,y)=2x$ e $h_y(x,y)=2y$) sono definite ovunque, quindi $h(x,y)$ è derivabile in $R^2$. Allora, per la condizione sufficiente per la differenziabilità $h(x,y)$ è ovunque differenziabile.
Ora non so proprio come approcciarmi allo svolgimento del secondo punto. Potreste spiegarmi:
1) cosa sono le curve di livello e come si disegnano?
2) come disegnare il gradiente? Io so soltanto "calcolarlo" nei punti, ovvero sostituendo alle derivate parziali i punti forniti.
Il testo è il seguente:
Dimostra che la funzione $h(x,y)=x^2+y^2$ è differenziabile in tutto $R^2$. Quindi disegnane le curve di livello ed il gradiente nei punti $(1,1)$, $(1,0)$ e $(-2,1)$.
Il dominio della funzione è tutto $R^2$, quindi la funzione è continua ovunque.
Le derivate parziali prime (rispettivamente $h_x(x,y)=2x$ e $h_y(x,y)=2y$) sono definite ovunque, quindi $h(x,y)$ è derivabile in $R^2$. Allora, per la condizione sufficiente per la differenziabilità $h(x,y)$ è ovunque differenziabile.
Ora non so proprio come approcciarmi allo svolgimento del secondo punto. Potreste spiegarmi:
1) cosa sono le curve di livello e come si disegnano?
2) come disegnare il gradiente? Io so soltanto "calcolarlo" nei punti, ovvero sostituendo alle derivate parziali i punti forniti.
Risposte
Ciao mobley
data una funzione $f:D->RR$
le curve di livello sono gli insiemi $L(f, lambda)={(x,y) in D| f(x,y)=lambda}$ quindi sono insiemi su cui la funzione vale costantemente $lambda$. Il motivo per cui vengono chiamate curve è dato dal teorema del Dini che ti dice quando, sotto opportune ipotesi, quell'insieme rappresenta il sostegno di una curva
il gradiente è un vettore per disegnarlo: basta che lo applichi sul punto in cui lo calcoli.
data una funzione $f:D->RR$
le curve di livello sono gli insiemi $L(f, lambda)={(x,y) in D| f(x,y)=lambda}$ quindi sono insiemi su cui la funzione vale costantemente $lambda$. Il motivo per cui vengono chiamate curve è dato dal teorema del Dini che ti dice quando, sotto opportune ipotesi, quell'insieme rappresenta il sostegno di una curva
il gradiente è un vettore per disegnarlo: basta che lo applichi sul punto in cui lo calcoli.
"anto_zoolander":
Ciao mobley
data una funzione $f:D->RR$
le curve di livello sono gli insiemi $L(f, lambda)={(x,y) in D| f(x,y)=lambda}$ quindi sono insiemi su cui la funzione vale costantemente $lambda$. Il motivo per cui vengono chiamate curve è dato dal teorema del Dini che ti dice quando, sotto opportune ipotesi, quell'insieme rappresenta il sostegno di una curva
il gradiente è un vettore per disegnarlo: basta che lo applichi sul punto in cui lo calcoli.
Ti ringrazio per la risposta. Potresti spiegarmi come calcolarle? Cosa devo fare nel caso in questione?
Prendi un $lambdageq0$ e considera l'insieme $L(f, lambda)={(x,y) in RR^2: x^2+y^2=lambda}$
quindi le curve di livello sono date dalle circonferenze di centro nell'origine e raggio $sqrt(lambda)$
di fatto se prendi la curva $phi(t)=(sqrt(lambda)cos(t),sqrt(lambda)sin(t))$ con $t in [0,2pi]$ puoi vedere che $f(phi(t))$ vale costantemente $lambda$ e il sostegno di $phi$ descrive tutto l'insieme $L(f, lambda)$ al variare di $lambdageq0$
quindi le curve di livello sono date dalle circonferenze di centro nell'origine e raggio $sqrt(lambda)$
di fatto se prendi la curva $phi(t)=(sqrt(lambda)cos(t),sqrt(lambda)sin(t))$ con $t in [0,2pi]$ puoi vedere che $f(phi(t))$ vale costantemente $lambda$ e il sostegno di $phi$ descrive tutto l'insieme $L(f, lambda)$ al variare di $lambdageq0$
"mobley":Dai mobley, questo è VERAMENTE facile.
Non ho mai trovato un'esercizio simile in un esame, e non mi sembra che l'argomento ci sia stato nemmeno accennato a lezione. Ma tant'è, me lo sono ritrovato in uno degli ultimi compiti.
Il testo è il seguente:
Dimostra che la funzione $h(x,y)=x^2+y^2$ [...]
1) cosa sono le curve di livello e come si disegnano?
2) come disegnare il gradiente? Io so soltanto "calcolarlo" nei punti, ovvero sostituendo alle derivate parziali i punti forniti.
Cosa siano le curve di livello te l'ha detto anto_zoolander, anche se in modo leggermente troppo complicato perché ha citato cose non necessarie. Qui è proprio una banalità: si tratta di disegnare gli insiemi \( \{x^2+y^2=\lambda\}\) al variare di \(\lambda\in \mathbb R\). Lo sanno anche i sassi, e lo sai bene pure tu, che sono circonferenze.
Quanto al gradiente, si tratta anche qui di una richiesta davvero molto semplice. Il gradiente è un vettore, vero o no? Un vettore si disegna come una freccetta. Calcola queste freccette e disegnale nei punti che ti sono stati chiesti. La cosa interessante di questo esercizio è riflettere sulla relazione tra queste freccette e le curve di livello.
Eh sarà anche facile ma se uno non ne ha mai sentito parlare e all'ultimo compito se le ritrova nel testo rimane quantomeno basito.
In ogni caso ho capito:
1) per disegnare le curve di livello basta porre $f(x,y)=lambda$ ed esplicitare la $y$ nel caso ad es. di una parabola, oppure tracciare direttamente la circonferenza come in questo caso dotata di raggio $sqrt(lambda)$. Sostituisco a $lambda$ dei reali arbitrari e traccio le circonferenze concentriche con centro in $(0,0)$.
2) il gradiente è graficamente rappresentato come un vettore di componenti le derivate parziali calcolate nel punto, quindi con origine nel punto fornito e fine in $(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$.
In ogni caso ho capito:
1) per disegnare le curve di livello basta porre $f(x,y)=lambda$ ed esplicitare la $y$ nel caso ad es. di una parabola, oppure tracciare direttamente la circonferenza come in questo caso dotata di raggio $sqrt(lambda)$. Sostituisco a $lambda$ dei reali arbitrari e traccio le circonferenze concentriche con centro in $(0,0)$.
2) il gradiente è graficamente rappresentato come un vettore di componenti le derivate parziali calcolate nel punto, quindi con origine nel punto fornito e fine in $(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$.
No, sul gradiente è sbagliato. Devi disegnare quello che in fisica si chiama "vettore applicato", spiccato nel punto che ti viene assegnato
"dissonance":
No, sul gradiente è sbagliato. Devi disegnare quello che in fisica si chiama "vettore applicato", spiccato nel punto che ti viene assegnato
E' quello che ho detto
Dato il punto $(-2,1)$, il gradiente è un vettore "freccetta" che "spicca" in $(-2,1)$ e termina in $(-4,2)$.
Mannaggia, sono al cellulare e mi è difficile scrivere. Se il tuo vettore è (-2, 1),allora hai ragione, spiccandolo in (-2,1) esso termina in (-4,2). Se, per esempio, il vettore è (1,0), allora spiccandolo in (-2,1) termini in (-1,1). Devi sommare le componenti
Attenzione, il gradiente in $(-2,1)$ è $\nabla f(-2,1)=(-4,2)$. Nel momento in cui rappresenti il vettore, esso ha punto di applicazione in $(-2,1)$ (punto di partenza) e la punta della freccia che tocca il punto $(-6,3)$; Come dice giustamente dissonance, bisogna sommare le componenti per ricavare il punto in cui termina il vettore.
Ad ogni modo quoto tantissimo l'onnicitato dissonance
Ti invito a rivedere la teoria sull'argomento perché ti servirà a capire molte dimostrazioni che seguono questi argomenti.
Ad ogni modo quoto tantissimo l'onnicitato dissonance
... La cosa interessante di questo esercizio è riflettere sulla relazione tra queste freccette e le curve di livello.
Ti invito a rivedere la teoria sull'argomento perché ti servirà a capire molte dimostrazioni che seguono questi argomenti.
Ho capito grazie
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