Curve di livello
Una delle ultime lezioni di università è stata sugli insiemi di livello di funzioni a due variabili. Purtroppo ero ammalata e quindi non ho potuto seguire quella lezione, e , nonostante abbia provato a studiarlo da sola, sul libro c'è poco e niente, e quel poco che c'è non è scritto chiaramente.
Volevo chiedervi insomma cosa sono gli insiemi di livello e come si calcolano. Se conoscete siti dove queste cose sono spiegate chiaramente ditemelo! Grazie mille a tutti
Volevo chiedervi insomma cosa sono gli insiemi di livello e come si calcolano. Se conoscete siti dove queste cose sono spiegate chiaramente ditemelo! Grazie mille a tutti
Risposte
Data una funzione in due variabili $x$ e $y$, una curva di livello è il luogo geometrico dei punti che soddisfano l'equazione
$F(x,y) = C$, dove $C$ è una costante.
Una curva di livello, quindi, unisce tutti i punti del grafico di una funzione che hanno la stessa quota $z = C$.
Una proprietà interessante è questa: il gradiente di una funzione a due variabili è sempre orogonale in ogni punto ad una curva di livello.
Detto infatti $hat(u)$ il versore tangente alla curva in un punto, sappiamo che $(del F)/(del u) = gradF hat(u)$
Siccome su una curva di livello $(del F)/(del u) = 0$, il prodotto scalare fra il gradiente ed il versore è nullo: ne consegue che i due vettori sono ortogonali, e
che quindi il gradiente è a sua volta ortogonale alla curva.
Un problema particolare è quello di determinare i massimi ed i minimi "vincolati" ad una certa curva $gamma$ definita sul grafico: questo problema, per via del
modo in cui si risolve, viene chiamato "dei moltiplicatori di Lagrange".
Sia $Phi(x,y) = 0$ la proiezione sul piano $x,y$ della curva $gamma$. Su un punto critico di $gamma$ (massimo o minimo) sappiamo che $gradF$ è ortogonale
a $gamma$; in corrispondenza, abbiamo che su $Phi(x,y) = 0$ anche $gradPhi$ è orogonale alla curva. Ne consegue che $gradPhi$ e $gradF$ sono paraleli e
differiscono al più per una costante $lambda$ : $gradF = lambda gradPhi -> grad(F - lambda Phi) = 0$
Da qui si ottiene il sistema:
$grad(F - lambda Phi) = 0$
$Phi(x,y) = 0$
che risolto da le coordinate dei punti critici sul vincolo. Gli scalari $lambda$ vengono chiamati "moltiplicatori di Lagrange", mentre la funzione
$L = F - lambda Phi$ è detta "Lagrangiana" (in realtà su $Phi$ e $F$ vanno fatte delle precise ipotesi iniziali che non ricordo assolutamente...).
Per come le ho studiate io, non c'è altro da dire (io però studio Fisica, non Matematica)...ti consiglio semplicemente di chiedere gli appunti a qualcuno
$F(x,y) = C$, dove $C$ è una costante.
Una curva di livello, quindi, unisce tutti i punti del grafico di una funzione che hanno la stessa quota $z = C$.
Una proprietà interessante è questa: il gradiente di una funzione a due variabili è sempre orogonale in ogni punto ad una curva di livello.
Detto infatti $hat(u)$ il versore tangente alla curva in un punto, sappiamo che $(del F)/(del u) = gradF hat(u)$
Siccome su una curva di livello $(del F)/(del u) = 0$, il prodotto scalare fra il gradiente ed il versore è nullo: ne consegue che i due vettori sono ortogonali, e
che quindi il gradiente è a sua volta ortogonale alla curva.
Un problema particolare è quello di determinare i massimi ed i minimi "vincolati" ad una certa curva $gamma$ definita sul grafico: questo problema, per via del
modo in cui si risolve, viene chiamato "dei moltiplicatori di Lagrange".
Sia $Phi(x,y) = 0$ la proiezione sul piano $x,y$ della curva $gamma$. Su un punto critico di $gamma$ (massimo o minimo) sappiamo che $gradF$ è ortogonale
a $gamma$; in corrispondenza, abbiamo che su $Phi(x,y) = 0$ anche $gradPhi$ è orogonale alla curva. Ne consegue che $gradPhi$ e $gradF$ sono paraleli e
differiscono al più per una costante $lambda$ : $gradF = lambda gradPhi -> grad(F - lambda Phi) = 0$
Da qui si ottiene il sistema:
$grad(F - lambda Phi) = 0$
$Phi(x,y) = 0$
che risolto da le coordinate dei punti critici sul vincolo. Gli scalari $lambda$ vengono chiamati "moltiplicatori di Lagrange", mentre la funzione
$L = F - lambda Phi$ è detta "Lagrangiana" (in realtà su $Phi$ e $F$ vanno fatte delle precise ipotesi iniziali che non ricordo assolutamente...).
Per come le ho studiate io, non c'è altro da dire (io però studio Fisica, non Matematica)...ti consiglio semplicemente di chiedere gli appunti a qualcuno
Grazie mille, quindi devo semplicemente porre f(x,y)=c e ricavarmi la funzione y=f(x)..vero?
Si...la funzione $y = f(x)$ che ricavi corrisponde ad una curva posta sul piano $z = C$
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