Curve di livello
Buongiorno,
data la funzione $f(x,y) = (x^2 + y^2)arctan(|x|)$ si considerino gli insiemi $C_l = {f(x,y) = l}$. Per quali valori di $l>=0$ queste sono curve regolari in ogni loro punto? (non contengono punti critici o punti di non differenziabilità della funzione)
Se $l>0$ ottengo due "pezzi" di curva separati e simmetrici rispetto all'asse x che sono illimitati. Il fatto che siano separati non implica la non regolarità della curva? Inoltre se l = 0 ottengo una retta (l'asse delle y)...perchè questa non è una curva regolare?
Grazie
data la funzione $f(x,y) = (x^2 + y^2)arctan(|x|)$ si considerino gli insiemi $C_l = {f(x,y) = l}$. Per quali valori di $l>=0$ queste sono curve regolari in ogni loro punto? (non contengono punti critici o punti di non differenziabilità della funzione)
Se $l>0$ ottengo due "pezzi" di curva separati e simmetrici rispetto all'asse x che sono illimitati. Il fatto che siano separati non implica la non regolarità della curva? Inoltre se l = 0 ottengo una retta (l'asse delle y)...perchè questa non è una curva regolare?
Grazie
Risposte
Per il caso $l>0$. In analisi di solito una curva in $\mathbb R^n$ è una funzione continua $\gamma:I\to\mathbb R^n$ definita su un intervallo $I\subseteq\mathbb R$. Dato che gli intervalli sono connessi, segue che l'immagine $\gamma(I)\subseteq\mathbb R^n$ della curva deve essere connessa.
Se poi questa immagine $X=\gamma(I)$ ha questa proprietà: per ogni punto $p\in X$ esiste un intorno $U\subseteq\mathbb R^n$ di $p$ e una funzione $\gamma_p:I_p\to\mathbb R^n$ di classe $C^k$ definita su un intervallo $I_p\subseteq\mathbb R$ tale che (1) $X\cap U=\{\gamma_p(t):t\in I_p\}$ e (2) $\gamma_p'(t)\ne 0$ per ogni $t\in I$; allora in questo caso lo stesso insieme $X$ è di solito chiamato una curva regolare (di classe $C^k$). Se $n=2$ e l'insieme $X$ è l'insieme di livello di una funzione $f$ che è di classe $C^k$ in un intorno di $X$, allora avere gradiente di $f$ non nullo in tutti i punti di $X$ è condizione sufficiente perché $X$ sia una curva regolare.
Da questa condizione sufficiente segue che ognuno dei pezzi di cui è fatto l'insieme $C_l$ è una curva regolare. Il fatto che questi pezzi siano due e che quindi $C_l$ non sia connesso per $l>0$, perciò, non impedisce di dire che è un insieme regolare, ma al massimo dovrebbe impedire di dire che è una curva, visto che è l'unione di due curve regolari separate. Dovresti controllare se per il tuo insegnante, o per l'autore del testo che usi, il fatto di essere connesso è una condizione necessaria per poter dire che un insieme è una curva, perché questo sarebbe l'unico motivo per cui $C_l$ potrebbe non essere considerato una curva regolare.
Per il caso $l=0$: che cosa ti fa dire che $C_0$ non dovrebbe essere una curva regolare?
Se poi questa immagine $X=\gamma(I)$ ha questa proprietà: per ogni punto $p\in X$ esiste un intorno $U\subseteq\mathbb R^n$ di $p$ e una funzione $\gamma_p:I_p\to\mathbb R^n$ di classe $C^k$ definita su un intervallo $I_p\subseteq\mathbb R$ tale che (1) $X\cap U=\{\gamma_p(t):t\in I_p\}$ e (2) $\gamma_p'(t)\ne 0$ per ogni $t\in I$; allora in questo caso lo stesso insieme $X$ è di solito chiamato una curva regolare (di classe $C^k$). Se $n=2$ e l'insieme $X$ è l'insieme di livello di una funzione $f$ che è di classe $C^k$ in un intorno di $X$, allora avere gradiente di $f$ non nullo in tutti i punti di $X$ è condizione sufficiente perché $X$ sia una curva regolare.
Da questa condizione sufficiente segue che ognuno dei pezzi di cui è fatto l'insieme $C_l$ è una curva regolare. Il fatto che questi pezzi siano due e che quindi $C_l$ non sia connesso per $l>0$, perciò, non impedisce di dire che è un insieme regolare, ma al massimo dovrebbe impedire di dire che è una curva, visto che è l'unione di due curve regolari separate. Dovresti controllare se per il tuo insegnante, o per l'autore del testo che usi, il fatto di essere connesso è una condizione necessaria per poter dire che un insieme è una curva, perché questo sarebbe l'unico motivo per cui $C_l$ potrebbe non essere considerato una curva regolare.
Per il caso $l=0$: che cosa ti fa dire che $C_0$ non dovrebbe essere una curva regolare?
Okay, grazie per la spiegazione. Se $l=0$ io direi che la curva è comunque regolare, tuttavia il fatto che fra parentesi c'è specificato che la curva non deve contenere punti critici mi ha fatto pensare che la retta sia una curva irregolare, ma non ne vedo il motivo.
Ok, non avevo afferrato: quella indicata tra parentesi è una condizione sufficiente per concludere che l'insieme di livello è regolare, ma l'insieme di livello può essere regolare anche quando quella condizione non è soddisfatta, come nel caso di $l=0$.
Ah bene, grazie mille.
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