Curve con stesso sostegno sono equivalenti?
Buonasera stavo svolgendo questo esercizio.
Dire se queste due curve $s_1(t)=(t^6,t^3)$ in $tin[-1,1]$ e $s_2(t)=(t^2,t)$ in $tin[-1,1]$ sono equivalenti. Il problema è che non riesco a trovare un cambiamento di parametrizzazione regolare in $[-1,1]$ che mi dimostri che esse sono equivalenti. Così ho pensato se due curve equivalenti hanno lo stesso sostegno, è vero anche il contrario? Due curve con lo stesso sostegno sono equivalenti? Perchè in tal caso l'esercizio è presto fatto visto che le due curve hanno lo stesso sostegno.
Dire se queste due curve $s_1(t)=(t^6,t^3)$ in $tin[-1,1]$ e $s_2(t)=(t^2,t)$ in $tin[-1,1]$ sono equivalenti. Il problema è che non riesco a trovare un cambiamento di parametrizzazione regolare in $[-1,1]$ che mi dimostri che esse sono equivalenti. Così ho pensato se due curve equivalenti hanno lo stesso sostegno, è vero anche il contrario? Due curve con lo stesso sostegno sono equivalenti? Perchè in tal caso l'esercizio è presto fatto visto che le due curve hanno lo stesso sostegno.
Risposte
No il contrario non vale in generale. Per esempio
$\phi(t)=(t,t)$ $\phi(t): [-1,1] \rightarrow RR^2$
$\gamma(t)=(t^2,t^2)$ $\gamma(t): [-1,1] \rightarrow RR^2$
È chiaro che non esiste alcuna funzione $f: [-1,1] \rightarrow [-1,1]$ t.c. $\gamma(t)=\phi(f(t))$ che abbia inversa di classe $C^1$.
$\phi(t)=(t,t)$ $\phi(t): [-1,1] \rightarrow RR^2$
$\gamma(t)=(t^2,t^2)$ $\gamma(t): [-1,1] \rightarrow RR^2$
È chiaro che non esiste alcuna funzione $f: [-1,1] \rightarrow [-1,1]$ t.c. $\gamma(t)=\phi(f(t))$ che abbia inversa di classe $C^1$.
Capito. Grazie dan95. Ma quindi come dimostro che sono equivalenti?
Ricordiamo brevemente la definizione:
Definizione. Due curve $\phi : I_1 \rightarrow RR^n$ e $\gamma: I_2 \rightarrow RR^n$ si dicono equivalenti se esiste una $f: I_1 \rightarrow I_2$ tale che:
-$f$ è biiettiva
-$f$ è di classe $C^1$ e $f'(t) !=0$ per ogni $t \in I_1$, da qui deduciamo che anche $f^{-1}$ deve essere di classe $C^1$
-$\phi(t)=\gamma(f(t))$
Nel nostro caso se esistesse $f: [-1,1] \rightarrow [-1,1]$ per la terza condizione avremo $\phi(t)=(t^6,t^3)=(f(t)^2,f(t))=\gamma(f(t))$ ma derivando avremo che in $t=0$ si ha $f'(t)=0$ venendo meno la seconda condizione. Concludiamo che le due curve non sono equivalenti.
Definizione. Due curve $\phi : I_1 \rightarrow RR^n$ e $\gamma: I_2 \rightarrow RR^n$ si dicono equivalenti se esiste una $f: I_1 \rightarrow I_2$ tale che:
-$f$ è biiettiva
-$f$ è di classe $C^1$ e $f'(t) !=0$ per ogni $t \in I_1$, da qui deduciamo che anche $f^{-1}$ deve essere di classe $C^1$
-$\phi(t)=\gamma(f(t))$
Nel nostro caso se esistesse $f: [-1,1] \rightarrow [-1,1]$ per la terza condizione avremo $\phi(t)=(t^6,t^3)=(f(t)^2,f(t))=\gamma(f(t))$ ma derivando avremo che in $t=0$ si ha $f'(t)=0$ venendo meno la seconda condizione. Concludiamo che le due curve non sono equivalenti.
Allora era come immaginavo. Grazie. Comunque nell'enunciato del mio libro non dice che f deve essere biiettiva ma poi dichiara che il cambiamento di parametrizzazione deve essere strettamente monotono. È equivalente no? D'altra parte proprio perché $f$ è monotona l'inversa $f^(-1)$ può essere considerata di classe $C^1$ no?
Si è una conseguenza
Ok grazie mille
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