Curve
una curva $gamma$ definita su un intervallo I = [a,b] è $C^1$ a tratti in I se esiste una suddivisione di I: $ a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b $ tale che le i-esime curve $gamma_i = gamma _{[t_{i+1}, t_i]}$ sono di classe $C^1$.
qualcuno mi può fare un esempio di curva che sia $C^1$ a tratti, ma non $C^1$? non riesco a capire bene la differenza.. grazie
qualcuno mi può fare un esempio di curva che sia $C^1$ a tratti, ma non $C^1$? non riesco a capire bene la differenza.. grazie
Risposte
E' molto semplice: una curva $C^1$ a tratti si può spezzare in un numero finito di curve regolari senza necessariamente essere essa stessa una curva regolare. Ad esempio:
[asvg]xmin=-1; xmax=1;ymin=0; ymax=1; axes(); plot("abs(x)");[/asvg] è regolare a tratti ma non regolare per via del punto angoloso nell'origine. Una parametrizzazione di questa curva è: $gamma(t)={((t,-t), t<=0), ((t,t), t>=0):},\ t \in [-1, 1]$.
[asvg]xmin=-1; xmax=1;ymin=0; ymax=1; axes(); plot("abs(x)");[/asvg] è regolare a tratti ma non regolare per via del punto angoloso nell'origine. Una parametrizzazione di questa curva è: $gamma(t)={((t,-t), t<=0), ((t,t), t>=0):},\ t \in [-1, 1]$.
ma dunque per calcolare la derivata in 0 trovi solo le derivate laterali, noti che esistono, e quindi deduci che è C1 negli intervalli [-a, 0] e [0, a] con a>0 ? scusa per la domanda scema ma volevo essere sicuro..
Si.
Ah, un'osservazione. La curva in questione è regolare solo a tratti, ma è possibile ottenere quella figura con una parametrizzazione regolare: ad esempio $gamma_1(t)=(t^3, |t|^3), t \in [-1, 1]$ descrive la stessa figura ma è una curva diversa. Infatti puoi osservare che $gamma_1$ è regolare ovunque, anche in $0$. Dico questo per non farti nascere idee sbagliate, la sola figura non individua completamente una curva, è necessario anche specificare "come" viene percorsa.
P.S.: uff... devo fare un'altra correzione: sopra ho scritto "regolare" ma è un errore; si tratta di una curva $C^1$ ovunque ma la derivata, ovviamente, si annulla in un punto (per $t=0$). Ti chiedo scusa, spero di non averti confuso.
Ah, un'osservazione. La curva in questione è regolare solo a tratti, ma è possibile ottenere quella figura con una parametrizzazione regolare: ad esempio $gamma_1(t)=(t^3, |t|^3), t \in [-1, 1]$ descrive la stessa figura ma è una curva diversa. Infatti puoi osservare che $gamma_1$ è regolare ovunque, anche in $0$. Dico questo per non farti nascere idee sbagliate, la sola figura non individua completamente una curva, è necessario anche specificare "come" viene percorsa.
P.S.: uff... devo fare un'altra correzione: sopra ho scritto "regolare" ma è un errore; si tratta di una curva $C^1$ ovunque ma la derivata, ovviamente, si annulla in un punto (per $t=0$). Ti chiedo scusa, spero di non averti confuso.
tranquillo l'avevo intuito, però mi hai fatto venire un altro dubbio.. ci penso e ti so dire domani, intanto grazie
dubbio risolto: mi aveva sconvolto il fatto che la derivata potesse esistere in un punto angoloso.. però effettivamente dipende dalla parametrizzazione: il grafico di y = |x|^3 ha infatti derivata nulla nell'origine (ed è ovunque derivabile), e questo giustifica la tua osservazione.
grazie ancora
grazie ancora
Esatto! Una maniera molto utile (IMHO) di pensare a queste cose è quella cinematica, che vede le curve come traiettorie seguite da particelle. La curva del primo post viene percorsa a velocità costante $\vec{v}= \vec{i}-\vec{j}$ nel ramo sinistro (ovvero per $t<0$), poi all'istante $t=0$ la particella ha un brusco(=istantaneo) cambiamento di direzione e prende a muoversi con velocità costante $vec{v}=\vec{i}+\vec{j}$. Si capisce che non è possibile attribuire alla particella una velocità quando $t=0$.
Invece nel secondo caso il vettore velocità è $\vec{v}=3t^2\vec{i} +3 |t| t\vec{j}$, il che cinematicamente corrisponde al moto di una particella che rallenta progressivamente fino a fermarsi all'istante $t=0$ e ripartire. Ecco perché in questo caso il punto angoloso non rappresenta un punto di non derivabilità: infatti la particella ha una velocità all'istante $t=0$, precisamente $\vec{v}=\vec{0}$. E questo ti spiega anche perché quando si parla di curve regolari si esclude che la derivata possa annullarsi: serve proprio ad evitare casi come questo.
Questo è come la vedo io; se ti sei fatto un'altra immagine intuitiva usala tranquillamente e lascia perdere questo messaggio.
Invece nel secondo caso il vettore velocità è $\vec{v}=3t^2\vec{i} +3 |t| t\vec{j}$, il che cinematicamente corrisponde al moto di una particella che rallenta progressivamente fino a fermarsi all'istante $t=0$ e ripartire. Ecco perché in questo caso il punto angoloso non rappresenta un punto di non derivabilità: infatti la particella ha una velocità all'istante $t=0$, precisamente $\vec{v}=\vec{0}$. E questo ti spiega anche perché quando si parla di curve regolari si esclude che la derivata possa annullarsi: serve proprio ad evitare casi come questo.
Questo è come la vedo io; se ti sei fatto un'altra immagine intuitiva usala tranquillamente e lascia perdere questo messaggio.
questa interpretazione mi piace, anche perchè vedo che con le curve si fanno spesso riferimenti alla cinematica (poi con la fisica ho abbastanza un buon rapporto..)
direi che mi sei stato di grande aiuto finora, sia per per questa che per le richieste precedenti. grazie infinite
direi che mi sei stato di grande aiuto finora, sia per per questa che per le richieste precedenti. grazie infinite
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