Curve

[alby09090909]

Ciao a tutti, ho un dubbio sul seguente quesito.

Siano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ due curve equivalenti. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a) $\gamma_1$ e $\gamma_2$ hanno lo stesso sostegno
(b) se $\gamma_1$ è semplice, anche $\gamma_2$ è semplice
(c) $\gamma_1$ e $\gamma_2$ hanno la stessa lunghezza
(d) $\gamma_1$ e $\gamma_2$ hanno, punto per punto, lo stesso vettore tangente.

La risposta fornita è la D, e sono d'accordo.
Tuttavia mi chiedo se anche la risposta B fosse falsa, sto pensando a queste due curve equivalenti:

$ \vec{r}(t) = (cost, sint) $, $0\leqt\leq2\pi$
$ \vec{r}(t) = (cos2t, sin2t) $, $0\leqt\leq2\pi$

Sono queivalenti ma la seconda non è semplice. Qualcuno mi aiuta a chiarire il dubbio?

[gugo82]

Sono equivalenti?

[alby09090909]

Cambia anche l'intervallo base quando riparametrizzo la curva, quindi la seconda sarebbe da $0\leqt\leq\pi$?
Cioè sarebbe ancora semplice?

[gugo82]

Sì e sì.

Viene direttamente dalla definizione:

Una curva continua parametrizzata semplice \(\Gamma\) è una classe di equivalenza di funzioni vettoriali continue, fatta rispetto alla relazione \(\equiv\) definita qui sotto:

"Date due funzioni \(\phi \in C([a,b];\mathbb{R}^N)\) e \(\psi \in C([c,d];\mathbb{R}^N)\), si pone:
\[
\phi \equiv \psi
\]
se e solo se esiste una funzione \(u:[a,b]\to [c,d]\) continua e biiettiva (detta cambiamento di parametro) tale che:
\[
\phi (t) = \psi (u(t))
\]
per ogni \(t\in [a,b]\)."[/list:u:3fbkrpta]
Se \(\Gamma\) è una curva continua parametrizzata e \(\phi \in C([a,b];\mathbb{R}^N)\) è una funzione della classe di equivalenza \(\Gamma\), \(\phi\) è detta rappresentazione parametrica (o parametrizzazione) di \(\Gamma\) sull'intervallo base \([a,b]\).

Senza conoscere le definizioni non si fa Matematica.