Curvatura di una curva
Ciao 
È possibile definire la curvatura di una curva a partire dalla componente radiale dell’accelerazione?
Per intenderci intendo la componente dell’accelerazione che è normale alla velocità.
È possibile definire la curvatura di una curva a partire dalla componente radiale dell’accelerazione?
Per intenderci intendo la componente dell’accelerazione che è normale alla velocità.
Risposte
E non è proprio quella la definizione standard?
Sul mio libro è definito a partire dalla lunghezza di un arco di curva 
No, è leggermente più complicato: è definita mediante la parametrizzazione in ascissa curvilinea. https://it.wikipedia.org/wiki/Curva_pia ... curvilinea
FAtemi gli auguri, è il mio compleanno 
Tornando ai discorsi seri: la definizione mediante riparametrizzazione all’ascissa curvilinea l’ho fatta, ma non è possibile andarci per mezzo della componente centripeta? Sarebbe più bello.
Tornando ai discorsi seri: la definizione mediante riparametrizzazione all’ascissa curvilinea l’ho fatta, ma non è possibile andarci per mezzo della componente centripeta? Sarebbe più bello.
Prova a fare una domanda più formale; mica stiamo a fare fisica, ti pare che riesca a trovare ammissibile la parola "centripeta"?
Hai ragione, ho preso un abbaglio.
In generale quando una curva è due volte derivabile, è possibile spezzare la derivata seconda(accelerazione) in somma di due vettori ortogonali di cui uno è parallelo alla derivata prima e l’altro sarà normale ad esso.
In particolare è $a(t)=(a(t)-c*v(t))+c*v(t)$
Dove $c=(a(t),v(t))/(v(t),v(t))$
Quindi $c*v(t)$ è la proiezione ortogonale di $a(t)$ lungo la direzione di $v(t)$ e $a(t)-c*v(t)$ è normale a $v(t)$
Quindi ponendo $a(t)-cv(t)=a_R(t)$ è $cv(t)=a_T(t)$ si ottiene $a(t)=a_R(t)+a_T(t)$
Chiaramente $a_R(t)$ è responsabile dei cambi di direzione
Quindi volevo sapere se si potesse arrivare al definire la curvatura per mezzo di $a_R(t)$
In generale quando una curva è due volte derivabile, è possibile spezzare la derivata seconda(accelerazione) in somma di due vettori ortogonali di cui uno è parallelo alla derivata prima e l’altro sarà normale ad esso.
In particolare è $a(t)=(a(t)-c*v(t))+c*v(t)$
Dove $c=(a(t),v(t))/(v(t),v(t))$
Quindi $c*v(t)$ è la proiezione ortogonale di $a(t)$ lungo la direzione di $v(t)$ e $a(t)-c*v(t)$ è normale a $v(t)$
Quindi ponendo $a(t)-cv(t)=a_R(t)$ è $cv(t)=a_T(t)$ si ottiene $a(t)=a_R(t)+a_T(t)$
Chiaramente $a_R(t)$ è responsabile dei cambi di direzione
Quindi volevo sapere se si potesse arrivare al definire la curvatura per mezzo di $a_R(t)$
Auguri!!!! 
Rimarrà anche una dipendenza dalla velocità, in generale. La curvatura è
\[
\kappa = \frac{|\dot r\land \ddot r|}{|\dot r|^3} = \frac{|\dot r\land a_R|}{|\dot r|^3}
\]
\[
\kappa = \frac{|\dot r\land \ddot r|}{|\dot r|^3} = \frac{|\dot r\land a_R|}{|\dot r|^3}
\]
@alex
Sapevo che non saresti mancato, grazie 
@kill
Ti farò vedere che si può
Sapevo che non saresti mancato, grazie
@kill
Ti farò vedere che si può
Sono arrivato a questo
Data una curva $phi:I->V$ regolare con $dimV=2,IsubseteqRR,V$ $RR- s p a z i o$ e una base ortonormale $B={e_1,e_2}$
Prendendo i vettori $T(t)=vec((dphi)/dt)$ e $N(t)=R_(pi/2)T(t)$ nonché la rotazione del versore tangente di $pi/2$ nel verso che va da $e_1$ a $e_2$ ottengo il sistema di frenet.
All’inizio pensavo di definire $N(t)=vec(a_R)/(||vec(a_R)||$
Ma essendo ${N(t)}$ una base dell’ortogonale di $vec((dphi)/(dt))$ due vettori normalizzati appartenenti a una stessa retta vettoriale, coincidono a meno di una rotazione di $pi$
Quindi essendo $||T(t)||=1,forallt inI$ allora $(T(t),T’(t))=0,forallt inI$ quindi comunque preso $t inI$ i vettori $N,T’$ sono paralleli e si ottiene
$N(t)*k(t)=T’(t)$
Quindi si definisce $k$ la curvatura di $phi$ in $t$.
Chiaramente essendo $||N(t)||=1$ si ottiene che $|k(t)|=||T’(t)||$
Inoltre si vede svolgendo i calcoli che $T’(t)=vec(a_R)/(||v||)$
Da cui svolgendo i conti mi torna $|k(t)|=(||vec(v)(t)timesvec(a)(t)||)/(||vec(v)(t)||^2)$
Mi manca un $||vec(v)(t)||$ a denominatore, ma non capisco dove io sbagli!
Data una curva $phi:I->V$ regolare con $dimV=2,IsubseteqRR,V$ $RR- s p a z i o$ e una base ortonormale $B={e_1,e_2}$
Prendendo i vettori $T(t)=vec((dphi)/dt)$ e $N(t)=R_(pi/2)T(t)$ nonché la rotazione del versore tangente di $pi/2$ nel verso che va da $e_1$ a $e_2$ ottengo il sistema di frenet.
All’inizio pensavo di definire $N(t)=vec(a_R)/(||vec(a_R)||$
Ma essendo ${N(t)}$ una base dell’ortogonale di $vec((dphi)/(dt))$ due vettori normalizzati appartenenti a una stessa retta vettoriale, coincidono a meno di una rotazione di $pi$
Quindi essendo $||T(t)||=1,forallt inI$ allora $(T(t),T’(t))=0,forallt inI$ quindi comunque preso $t inI$ i vettori $N,T’$ sono paralleli e si ottiene
$N(t)*k(t)=T’(t)$
Quindi si definisce $k$ la curvatura di $phi$ in $t$.
Chiaramente essendo $||N(t)||=1$ si ottiene che $|k(t)|=||T’(t)||$
Inoltre si vede svolgendo i calcoli che $T’(t)=vec(a_R)/(||v||)$
Da cui svolgendo i conti mi torna $|k(t)|=(||vec(v)(t)timesvec(a)(t)||)/(||vec(v)(t)||^2)$
Mi manca un $||vec(v)(t)||$ a denominatore, ma non capisco dove io sbagli!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo