Curva parametrica
Ciao a tutti!
Come faccio a trovare l'area racchiusa in una curva data in forma parametrica?
Ad esempio [tex]C(t)=(1-t^4; cos^2( pigreco* t))[/tex] con t E [0;1]
é una buona idea ricavare la t, ottenendo quindi [tex]t=(arccos(sqr(y))/pigreco[/tex]?
Non so proprio da che parte girarmi..
Grazie!
Come faccio a trovare l'area racchiusa in una curva data in forma parametrica?
Ad esempio [tex]C(t)=(1-t^4; cos^2( pigreco* t))[/tex] con t E [0;1]
é una buona idea ricavare la t, ottenendo quindi [tex]t=(arccos(sqr(y))/pigreco[/tex]?
Non so proprio da che parte girarmi..
Grazie!
Risposte
Conosci il Teorema di Green?
In effetti si, ma fammi capire una cosa: in questo caso non mi viene fornito un campo vettoriale, come faccio a calcolare l'integrale?
Esistono delle formule per il calcolo dell'area in queste situazioni, che discendono direttamente dalle formule di Gauss-Green.
Se D è un dominio regolare di $RR^2$,
$m(D)=int_(+\del D) xdy=-int_(+\del D) y dx$. Puoi usare una delle due o una loro combinazione lineare: $1/(\alpha+\beta) int_(+\del D) \alpha x dy - \beta y dx$.
Ad esempio usando la prima diverrebbe $int_(+\del D) x(t)*y'(t)"dt"$.
Nel tuo caso già hai la frontiera, quindi conviene usare queste formule per il calcolo dell'area. Devi solo controllare se è orientata positivamente.
Inoltre, devi stare attento quando la curva non è semplice, perché l'orientazione della frontiera potrebbe cambiare.
Se D è un dominio regolare di $RR^2$,
$m(D)=int_(+\del D) xdy=-int_(+\del D) y dx$. Puoi usare una delle due o una loro combinazione lineare: $1/(\alpha+\beta) int_(+\del D) \alpha x dy - \beta y dx$.
Ad esempio usando la prima diverrebbe $int_(+\del D) x(t)*y'(t)"dt"$.
Nel tuo caso già hai la frontiera, quindi conviene usare queste formule per il calcolo dell'area. Devi solo controllare se è orientata positivamente.
Inoltre, devi stare attento quando la curva non è semplice, perché l'orientazione della frontiera potrebbe cambiare.
Ho capito, in effetti è più semplice di quanto credessi!
Una domanda: ci sono delle situazioni particolari in cui è più conveniente usare la combinazione lineare delle due formule?
grazie ancora!
Una domanda: ci sono delle situazioni particolari in cui è più conveniente usare la combinazione lineare delle due formule?
grazie ancora!
Sì, prova con una curva rappresentata in coordinate polari del seguente: $x=\rho(\theta) cos\theta$, $y=\rho(\theta) sin\theta$ e poni $\alpha=\beta=1$. Ti renderai che ti si semplificheranno le cose. (Nel sviluppare le derivate, tieni conto che il raggio $\rho$ è funzione dell'angolo $\theta$).
EDIT: Scusa avevo scordato le limitazioni
$\theta_1 <= \theta <= \theta_2$ e $0<= \rho <= \rho(\theta)$.
(L'area da calcolare è quella del settore piano compreso fra le due rette che delimitano gli angoli e la curva)
Prova anche, più semplicemente, con l'area dentro la circonferenza.
Diciamo che in generale l'idea è di semplificare la funzione integranda (in questo caso sfruttando l'identità trigonometrica), anche se per la circonferenza comunque non sarebbe difficile. Era solo per farti un esempio più immediato.
EDIT: Scusa avevo scordato le limitazioni
$\theta_1 <= \theta <= \theta_2$ e $0<= \rho <= \rho(\theta)$.
(L'area da calcolare è quella del settore piano compreso fra le due rette che delimitano gli angoli e la curva)
Prova anche, più semplicemente, con l'area dentro la circonferenza.
Diciamo che in generale l'idea è di semplificare la funzione integranda (in questo caso sfruttando l'identità trigonometrica), anche se per la circonferenza comunque non sarebbe difficile. Era solo per farti un esempio più immediato.
è vero, in questo caso l'integranda è molto più semplice! Mille grazie per il tuo aiuto! 
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