Curva in $ R^3 $
Buongiorno,
Ho provato a risolvere un problema su una curva così definita: $ varphi (t)=(t^2,t^3,t^2) $ con $ tin [0,1] $ .
Mi chiede di verificare se tale curva è regolare, semplice, chiusa e di definirne la lunghezza. Ho provato a svolgere questo esercizio e vorrei cortesemente sapere se ho eseguito correttamente i calcoli, visto che ho molti dubbi a riguardo.
Grazie mille anticipatamente
Regolarità: $ varphi ^{\prime}(t)=(2t,3t^2,2t) $ non è regolare poichè la derivata è nulla nel punto $ O(0,0) $
Chiusa: non è chiusa poichè $ varphi (0)!= varphi (1) $
Semplice: la curva risulta semplice poichè comunque presi due punti distinti $ t_1 $ e $ t_2 $ $ in [0,1] $ , risulta che $ varphi (t_1)!= varphi (t_2) $ .
Lunghezza curva: $ abs(varphi ^{\prime}(t))=sqrt(4t^2+9t^4+4t^2)=2sqrt(2)t+3t^2 $ $ rArr $
$ (2sqrt(2)+3)int_(0)^(1) t+t^2 dt= (2sqrt(2)+3)(int_(0)^(1)tdt+int_(0)^(1) t^2 dt) $
Qui mi sono bloccato, gli integrali devo calcolarli in questo modo $ [(t^2)/2]_0^1 $ e $ [(t^3)/3]_0^1 $ ???
Grazie mille ancora per l'aiuto e la pazienza 
Ho provato a risolvere un problema su una curva così definita: $ varphi (t)=(t^2,t^3,t^2) $ con $ tin [0,1] $ .
Mi chiede di verificare se tale curva è regolare, semplice, chiusa e di definirne la lunghezza. Ho provato a svolgere questo esercizio e vorrei cortesemente sapere se ho eseguito correttamente i calcoli, visto che ho molti dubbi a riguardo.
Grazie mille anticipatamente
Regolarità: $ varphi ^{\prime}(t)=(2t,3t^2,2t) $ non è regolare poichè la derivata è nulla nel punto $ O(0,0) $
Chiusa: non è chiusa poichè $ varphi (0)!= varphi (1) $
Semplice: la curva risulta semplice poichè comunque presi due punti distinti $ t_1 $ e $ t_2 $ $ in [0,1] $ , risulta che $ varphi (t_1)!= varphi (t_2) $ .
Lunghezza curva: $ abs(varphi ^{\prime}(t))=sqrt(4t^2+9t^4+4t^2)=2sqrt(2)t+3t^2 $ $ rArr $
$ (2sqrt(2)+3)int_(0)^(1) t+t^2 dt= (2sqrt(2)+3)(int_(0)^(1)tdt+int_(0)^(1) t^2 dt) $
Qui mi sono bloccato, gli integrali devo calcolarli in questo modo $ [(t^2)/2]_0^1 $ e $ [(t^3)/3]_0^1 $ ???
Grazie mille ancora per l'aiuto e la pazienza
Risposte
Certo per linearità
Perfetto grazie, gli altri ragionamenti sono corretti? 
Si ma non capisco perché dici che la curva non è regolare perché la derivata si annulla in $O(0,0,0)$ che centra l'origine? $\phi' : [0,1] \rightarrow RR^3$ quindi sarebbe corretto dire che non è regolare perché la derivata si annulla in $t=0$.
Per il resto mi sembra tutto ok!
Apparte un errore "grave" verso la fine
Per il resto mi sembra tutto ok!
Apparte un errore "grave" verso la fine
"vanzo95":
Lunghezza curva: $ abs(varphi ^{\prime}(t))=sqrt(4t^2+9t^4+4t^2)=2sqrt(2)t+3t^2 $ $ rArr $
$ (2sqrt(2)+3)int_(0)^(1) t+t^2 dt= (2sqrt(2)+3)(int_(0)^(1)tdt+int_(0)^(1) t^2 dt) $
Stai attento qua c'è qualcosa che non va già dal modulo hai sbadatamente (spero) fatto questo $\sqrt(a+b)=√a+√b$ che non vale in generale
L'ho risolto cosi: $ sqrt(4t^2+9t^4+4t^2)=sqrt(8t^2+9t^4)=2sqrt(2)t+3t^2 $
E' sbagliato?
E' sbagliato?
forse è meglio così:
$ sqrt(8t^2+9t^4)=sqrt(t^2(8+9t^2))=tsqrt(8+9t^2) $
Però poi nn saprei come proseguire
$ sqrt(8t^2+9t^4)=sqrt(t^2(8+9t^2))=tsqrt(8+9t^2) $
Però poi nn saprei come proseguire
Eh già meglio 
Dunque hai
$\int_{0}^{1} t\sqrt(8+9t^2)dt$
niente di più semplice visto che puoi operare la sostituzione $u=9t^2$, infatti
$\frac{1}{18}int_{0}^{9}\sqrt(8+u)du$
Sostituisci $v=8+u$ (ricorda di cambiare gli estremi di integrazione) e via...
Dunque hai
$\int_{0}^{1} t\sqrt(8+9t^2)dt$
niente di più semplice visto che puoi operare la sostituzione $u=9t^2$, infatti
$\frac{1}{18}int_{0}^{9}\sqrt(8+u)du$
Sostituisci $v=8+u$ (ricorda di cambiare gli estremi di integrazione) e via...
Perfetto grazie mille tutto chiaro 
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