Curva in forma parametrica ed eq. cartesiana

[Sk_Anonymous]

Salve, scusate per la domanda banale. Ho una curva di equazione parametrica $x=t^2, y=t^3$, con $t$ che varia in $[-1,1]$. Il grafico del sostegno dovrebbe avere equazione cartesiana $y=x^(3/2)$ giusto? Tuttavia, se vado su wolfram alfa e digito la curva in forma parametrica, ottengo un certo grafico (primo link), mentre se digito l'equazione cartesiana ne ottengo un altro (secondo link). Non dovrebbero essere uguali? Grazie mille
http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... +y%3Dt%5E3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 283%2F2%29

[Kyl1]

Bè, se guardi bene sono "quasi" uguali... c'è solo da fare attenzione nei passaggi con cui sei passato dalla forma parametrica a quella cartesiana... hai probabilmente preso una radice con troppa leggerezza
Ad esempio hai la stessa "differenza" che hai se provi a graficare prima $y=sqrt(x)$ e poi parametricamente $(t^2,t)$

[ciampax]

O detto in maniera più semplice, il sostegno in forma cartesiana è dato dall'unione delle due curve $y=\pm\sqrt{x^3}$ per $x\in[0,1]$.

[Sk_Anonymous]

Grazie. Ho questa domanda. Come mai nel caso delle curve, almeno per quelle che hanno sostegno in $RR^2$, non si prende mai in considerazione il grafico della funzione vero e proprio, cioè quello in $RR^3$ (grafico dato dalla terna di numeri quali il parametro ed il sostegno), mentre si ragiona sempre sul sostegno (vedi significato geometrico della derivata o elementi di geometria differenziale)?

[dissonance]

Me lo sono chiesto pure io. Secondo me il motivo sta nel fatto che, mentre il grafico di una funzione \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) o \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) si può visualizzare bene come linea nel piano o superficie nello spazio, il grafico di una funzione \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2\) è una linea nello spazio e si tratta di un oggetto troppo "piccolo" e difficile da visualizzare per dare delle informazioni all'intuizione.

[ciampax]

Mi sembra che vi poniate una domanda "pressoché" inutile: per quello che ne so io, se una curva è parametrizzata come $r(t)=(x(t),y(t)),\ t\in[a,b]$ allora il suo "grafico risulta $\Gamma(r)=\{(x(t),y(t))\ :\ t\in[a,b]\}$.

Poi forse non ho capito bene quello che chiedete.

[Kyl1]

Magari mi sbaglio, ma se ho capito bene si riferiscono al grafico di $r(t)$ nel senso dell'insieme ${(t,x(t),y(t)) in RR^3 : t in [a,b]}$. Per esempio il "grafico" (inteso in questo senso) di una circonferenza parametrica sarebbe un passo di elica nello spazio giusto??

[dissonance]

"Kyl":Magari mi sbaglio, ma se ho capito bene si riferiscono al grafico di $r(t)$ nel senso dell'insieme ${(t,x(t),y(t)) in RR^3 : t in [a,b]}$. Per esempio il "grafico" (inteso in questo senso) di una circonferenza parametrica sarebbe un passo di elica nello spazio giusto??

Si esatto.

[ciampax]

Allora avevo capito bene. Il fatto è che, secondo me, in questo caso il concetto di grafico è quello che ho scritto io, e non quell'altro: anche perché in tal caso ottereste una curva totalmente differente da quella che si evince dalla parametrizzazione.

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Allora avevo capito bene. Il fatto è che, secondo me, in questo caso il concetto di grafico è quello che ho scritto io, e non quell'altro: anche perché in tal caso ottereste una curva totalmente differente da quella che si evince dalla parametrizzazione.

Il bramanti-pagani-salsa, nella trattazione del calcolo infinitesimale per le curve, pone subito l'accento sul fatto che il sostegno della curva è l'immagine della funzione, mentre il grafico della funzione è l'insieme costituito dal sostegno e il parametro, quindi, se il sostegno è un oggetto di $RR^n$, il grafico è un oggetto di $RR^(n+1)$.

"ciampax":
se una curva è parametrizzata come $r(t)=(x(t),y(t)),\ t\in[a,b]$ allora il suo "grafico risulta $\Gamma(r)=\{(x(t),y(t))\ :\ t\in[a,b]\}$

Stando a quello che ho letto questo è la definizione di sostegno della curva.

[dissonance]

"ciampax":Allora avevo capito bene. Il fatto è che, secondo me, in questo caso il concetto di grafico è quello che ho scritto io, e non quell'altro: anche perché in tal caso ottereste una curva totalmente differente da quella che si evince dalla parametrizzazione.

Si, questo è chiaro. Ci chiedevamo: perché l'analisi del grafico aiuta così tanto l'intuizione nel caso di funzioni \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) mentre invece non sembra essere di grande aiuto per lo studio di funzioni \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\) (curve)?

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Così, per inciso, vorrei osservare che se è data una curva \(\gamma\colon [a, b]\to \mathbb{R}^3\) che descrive l'evoluzione temporale di una particella, il grafico della funzione \(\gamma\) è una linea in \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3\) detta world line. Bel nome!

[ciampax]

Credo che la risposta sia insita nella domanda: l'analisi del grafico di una funzione in forma parametrica restituisce un qualcosa di "totalmente" diverso a quello che la parametrizzazione stessa suggerisce. In parole semplici, credo che accada lo stesso di quando si vuole studiare il comportamento di una varietà analizzando il suo spazio tangente: se la varietà è uno spazio $n$-dimensionale, infatti, il suo spazio tangente (inteso come l'unione di tutti i fibrati tangenti punto per punto) risulta una varietà $2n$-dimensionale. Certo alcune "proprietà" di questo spazio permettono di determinare la forma della varietà originale, tuttavia esso racchiude informazioni ulteriori che possono non essere immediatamente riconducibili alle proprietà della varietà di base.

P.S.: tra l'altro, quell'esempietto che tieni nella firma (dissonance) è un tipico caso in cui ti rendi conto che c'è una grossa differenza tra l'analizzare la curva percorsa da una particella nello spazio $RR^3$ e il suo grafico, il quale risulta un sottospazio di $RR^4$.