Curva e derivata prima
Data una curva in forma parametrica $\phi(t)=(f_1(t),f_2(t))$ leggevo che la sua derivata prima è da intendersi come la velocità ed è sempre tangente alla crva stessa.
Per afferrare il concetto ho provato a considerare un esempio semplice di curva cartesiana del tipo $\phi(t)=(t,t^2)$ che alla fine dei conti sarebbe la parabola sul piano cartesiano.
Tittavia $\phi(t)'=(1,t)$ non capisco in che modo verifichi l'essere tangente o come si deduca da tale formula questa proprietà.
Pensavo potesse in qualche modo vedersi inserendo valori in t, ma non è assolutamente qualcosa di simile a delle cordinate
Mi potreste gentilmente spiegare questof atte, se ne avete voglia?
Mille grazie.
Per afferrare il concetto ho provato a considerare un esempio semplice di curva cartesiana del tipo $\phi(t)=(t,t^2)$ che alla fine dei conti sarebbe la parabola sul piano cartesiano.
Tittavia $\phi(t)'=(1,t)$ non capisco in che modo verifichi l'essere tangente o come si deduca da tale formula questa proprietà.
Pensavo potesse in qualche modo vedersi inserendo valori in t, ma non è assolutamente qualcosa di simile a delle cordinate
Mi potreste gentilmente spiegare questof atte, se ne avete voglia?
Mille grazie.
Risposte
Scusa il typo arnett, ne ho fatti molti rileggendo.
In realtà intendevo dire che non riesco a dedurre dalla forma ϕ(t)'=(1,t) che sia tangente alla curva, intendo graficamente.
Se non mi fosse stato detto che lo è non ci sarei arrivato, credo quindi di non capire il passaggio logico per giungere alla conclusione.
grazie per l'aiuto
In realtà intendevo dire che non riesco a dedurre dalla forma ϕ(t)'=(1,t) che sia tangente alla curva, intendo graficamente.
Se non mi fosse stato detto che lo è non ci sarei arrivato, credo quindi di non capire il passaggio logico per giungere alla conclusione.
grazie per l'aiuto
Graficamente non ti torna perché il vettore velocità è $\phi'(t)=(1,2t)$. Se consideri l'istante $t=1$, il punto della curva è $\phi(1)=(1,1)$ e rappresenta il punto di applicazione da cui spicca il vettore velocità $\phi'(1)=(1,2)$, avente norma $||\phi'(1)||=\sqrt{5}$ e formante con l'asse delle ascisse l'angolo $\theta=\arctan\left(2\right)$. Se fai per bene il grafico - oppure ti aiuti con il pc - noterai che effettivamente funziona tutto a dovere.
Grazie ad entrambi, forse ho capito il suggerimento di mathita e arnett (avete ragione entrambi ci sono due problemi: 1) sono tupido e ho sbagliato a scrivere la derivata senza tornarci sopra e ricontrollare e 2) forse il problema è il punto di applicazione), spero abbiate voglia di confermare le mie elucubrazioni e se sono giunto a comprensione corretta
Praticamente mi state dicendo che il vettore $(1,2)$ cioè detto "terraterra" il vettore che parte dall'origine e giunge con la punta nel punto (1,2) rappresenta la direzione della retta, andandolo a traslare nel punto 1, scritto in maniera migliore:
$r(t)=\phi(1)+\phi'(1)$ dove $\phi'(1)=(1,2)$, in generale $r(t)=\phi(t_0)+\phi'(t_0)$
Praticamente mi state dicendo che il vettore $(1,2)$ cioè detto "terraterra" il vettore che parte dall'origine e giunge con la punta nel punto (1,2) rappresenta la direzione della retta, andandolo a traslare nel punto 1, scritto in maniera migliore:
$r(t)=\phi(1)+\phi'(1)$ dove $\phi'(1)=(1,2)$, in generale $r(t)=\phi(t_0)+\phi'(t_0)$
"Mathita":
effettivamente funziona tutto a dovere.
ma un vettore per sua natura è spiccato dall'origine
perfetto grazie ancora
Certo è vero, senza il parametro non avrei tutta la retta ma solo il vettore tangente di lunghezza modulo di phi primo.
PS: @anto, sai che non ho capito il tuo post
@harpef
mi ha fatto molto ridere quella frase, ma aldilà del post. Mi fanno ridere tutte le battute simili a questa: "oh ma la matematica funziona bene" mi ricorda qualche aneddoto, nient'altro 
mi ha fatto molto ridere quella frase, ma aldilà del post. Mi fanno ridere tutte le battute simili a questa: "oh ma la matematica funziona bene"
mi ricorda qualche aneddoto, nient'altro
Ahaha grazie, non ero critico eh. Volevo solo capire cosa mi stesse sfuggendo del post 
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