Curva coperta da dischi

[ficus2002]

Sia $X$ uno spazio mertico e sia $gamma:I \to X$ con $I:=[0,1]\subseteq RR$ una curva (ossia $gamma$ continua).
Si dice che una famiglia finita $D_0,\ldots,D_n$ di dischi aperti di $X$ copre $\gamma$ se
$\gamma(0)$ e' centro di $D_0$;
$\gamma(1)$ e' centro di $D_n$;
esistono $0=s_0<\cdots Dimostrare che ogni curva puo' essere coperta da qualche famiglia di dischi $D_0,\ldots,D_n$.

[Chevtchenko]

"ficus2002":Sia $X$ uno spazio mertico e sia $gamma:I \to X$ con $I:=[0,1]\subseteq RR$ una curva (ossia $gamma$ continua).
Si dice che una famiglia finita $D_0,\ldots,D_n$ di dischi aperti di $X$ copre $\gamma$ se
$\gamma(0)$ e' centro di $D_0$;
$\gamma(1)$ e' centro di $D_n$;
esistono $0=s_0<\cdots Dimostrare che ogni curva puo' essere coperta da qualche famiglia di dischi $D_0,\ldots,D_n$.

Una curva e' compatta, quindi l'asserto e' banale.

[ficus2002]

"Sandokan.":[quote="ficus2002"]Dimostrare che ogni curva puo' essere coperta da qualche famiglia di dischi $D_0,\ldots,D_n$.

Una curva e' compatta, quindi l'asserto e' banale. [/quote]
E' banale dimostrare che il compatto $\gamma(I)$ è contenuto nella riunione di una collezione $D_0,\ldots,D_n$ di dischi di $X$. Qui è richiesto che tali dischi soddisfino anche

"ficus2002":$\gamma(0)$ e' centro di $D_0$;
$\gamma(1)$ e' centro di $D_n$;
esistono $0=s_0<\cdots

[gugo82]

"Sandokan.":[quote="ficus2002"]Sia $X$ uno spazio mertico e sia $gamma:I \to X$ con $I:=[0,1]\subseteq RR$ una curva (ossia $gamma$ continua).
Si dice che una famiglia finita $D_0,\ldots,D_n$ di dischi aperti di $X$ copre $\gamma$ se
$\gamma(0)$ e' centro di $D_0$;
$\gamma(1)$ e' centro di $D_n$;
esistono $0=s_0<\cdots Dimostrare che ogni curva puo' essere coperta da qualche famiglia di dischi $D_0,\ldots,D_n$.

Una curva e' compatta, quindi l'asserto e' banale. [/quote]

In effetti Sandokan non ha tutti i torti...

Dirò $Gamma$ il sostegno di $gamma$ e chiamerò $d_(Gamma)$ il diametro di tale insieme.
Fissato $delta>0$ minore di $1/3d_(Gamma)$, la parte $Lambda=Gamma-(D(gamma(0);delta)cupD(gamma(1);delta))$ è compatta (in quanto chiusa in $Gamma$, che è compatto per Weierstrass): pertanto dalla famiglia di dischi ${D(x;r)}_(x in Lambda, r>0)$ (che evidentemente ricopre $Lambda$) si può estrarre una famiglia finita ${D_(x_j;r_j)}_(j=1,..,n-1)$ che ricopre ancora $Lambda$.
Abbiamo così trovato almeno una famiglia $R={D(gamma(0);delta),D(gamma(1);delta)}cup{D(x_j;r_j)}_(j=1,...,n-1)$ di dischi aperti e con centri nei punti di $Gamma$ che ricopre il sostegno della curva; in più, a patto di sostituire ad alcuni dischi di $R$ dischi di raggio più piccolo, possiamo garantire che l'intersezione di ogni $Din R$ con $Gamma$ sia un connesso (questo forse bisognerebbe provarlo rigorosamente, ma mi pare abbastanza logico).

Per dimostrare il resto basta considerare che le intersezioni di $Gamma$ con gli elementi del ricoprimento finito $R$ sono dei connessi i quali si ottengono a partire da connessi di $[0,1]$, cioè da sottointervalli $[0,1]$ (aperti in topologia indotta): questi sottointervalli costituiscono un ricoprimento finito di $[0,1]$ e ognuno di essi contiene l'ascissa curvilinea di uno dei centri dei dischi di $R$. Usa questo fatto per ordinarli ed il gioco è fatto.

Rispetto alla definizione che dai di "ricoprimento coi dischi" l'unica difficoltà sta nel fatto che gli intervalli che determini col procedimento illustrato sono aperti e sovrapposti, non chiusi con un solo estremo in comune a due a due: ma ciò è nella natura delle cose se lavori con i dischi aperti... o sbaglio?
Se è così o scegli di lavorare con i dischi chiusi oppure modifichi l'asserto di esistenza nella tua definizione.

Buono studio.

[ficus2002]

"gugo82":in più, a patto di sostituire ad alcuni dischi di $R$ dischi di raggio più piccolo, possiamo garantire che l'intersezione di ogni $Din R$ con $Gamma$ sia un connesso (questo forse bisognerebbe provarlo rigorosamente, ma mi pare abbastanza logico).

Non basta diminuire il raggio di alcuni dischi; ma bisogna aggiungerne altri in modo tale da non lasciare tratti di curva scoperti.

"gugo82":Per dimostrare il resto basta considerare che le intersezioni di $Gamma$ con gli elementi del ricoprimento finito $R$ sono dei connessi i quali si ottengono a partire da connessi di $[0,1]$, cioè da sottointervalli $[0,1]$ (aperti in topologia indotta): questi sottointervalli costituiscono un ricoprimento finito di $[0,1]$ e ognuno di essi contiene l'ascissa curvilinea di uno dei centri dei dischi di $R$. Usa questo fatto per ordinarli ed il gioco è fatto.

Può essere che la controimmagine di un connesso non sia connessa; può succedere, per esempio, se la curva non è iniettiva. Anche se si considera la famiglia delle componenti connesse di queste controimmagini, non è più vero, in generale, che ciascuna di queste contiene l'ascissa curvilinea di uno dei centri dei dischi di $R$.