Curva come primitiva di un vettore.
Pensavo alla seguente cosa:
dato che una curva $phi:I->RR$ definita come $phi(t)=(phi_1(t),...,phi_n(t))$ con $phi_j:I->RR$ funzioni scalari
E supponendo che le $phi_j$ siano derivabili sull’intervallo $I$ avremo che $phi$ sarà derivabile in $I$ e che la funzione derivata sarà stavolta una funzione vettoriale $vec(phi):I->RR$ con $vec(phi)(t)=sum_(j=1)^(n)phi_(j)^(‘)(t)e_j$
È corretto definire la primitiva $intvec(phi)(t)dt$ la curva $phi$? Più una opportuna costante.
Trovo solo una ambiguità data dal fatto che tale primitiva possa essere vista sia come una curva, sia come un’altra funzione vettoriale. Ma a parte, il dubbio mi è venuto vedendo che
$phi$ è una primitiva di $vec(phi)$ se $(d phi)/(dt)(t)=vec(phi)(t),forall t inI$
Che è vero se e solo se $(d phi_j)/dt(t)=phi_(j)^(‘)(t)$ ovvero se $phi_j$ è una primitiva di $phi_(j)^(‘)$ per ogni $j=1,...n$
E quindi avere $intvec(phi)(t)dt=(intphi_1(t)dt+c_1,...,intphi_n(t)dt+c_n)=(intphi_1(t)dt,...,intphi_n(t)dt)+vec(c)$
Mi è venuto in mente pensando al fatto di avere magari la velocità istantanea posseduta da un punto in un determinato istante di tempo e trovarmi la corrispondente curva che abbia velocità istantanea in ogni punto.
Mi chiedevo se fosse ben definito e potessi trovarlo da qualche parte
dato che una curva $phi:I->RR$ definita come $phi(t)=(phi_1(t),...,phi_n(t))$ con $phi_j:I->RR$ funzioni scalari
E supponendo che le $phi_j$ siano derivabili sull’intervallo $I$ avremo che $phi$ sarà derivabile in $I$ e che la funzione derivata sarà stavolta una funzione vettoriale $vec(phi):I->RR$ con $vec(phi)(t)=sum_(j=1)^(n)phi_(j)^(‘)(t)e_j$
È corretto definire la primitiva $intvec(phi)(t)dt$ la curva $phi$? Più una opportuna costante.
Trovo solo una ambiguità data dal fatto che tale primitiva possa essere vista sia come una curva, sia come un’altra funzione vettoriale. Ma a parte, il dubbio mi è venuto vedendo che
$phi$ è una primitiva di $vec(phi)$ se $(d phi)/(dt)(t)=vec(phi)(t),forall t inI$
Che è vero se e solo se $(d phi_j)/dt(t)=phi_(j)^(‘)(t)$ ovvero se $phi_j$ è una primitiva di $phi_(j)^(‘)$ per ogni $j=1,...n$
E quindi avere $intvec(phi)(t)dt=(intphi_1(t)dt+c_1,...,intphi_n(t)dt+c_n)=(intphi_1(t)dt,...,intphi_n(t)dt)+vec(c)$
Mi è venuto in mente pensando al fatto di avere magari la velocità istantanea posseduta da un punto in un determinato istante di tempo e trovarmi la corrispondente curva che abbia velocità istantanea in ogni punto.
Mi chiedevo se fosse ben definito e potessi trovarlo da qualche parte
Risposte
Anche io non sono mai riuscito a trovare una giustificazione sostanziale a questa costruzione: è certamente possibile farlo, ma il significato dell'integrale di un vettore $t\mapsto \mathbf{r}(t)$ mi sembra molto più povero di quello che introduce gli integrali (di volume) come operazioni di pairing tra forme differenziali.
Un esempio semplice mi sembra la maniera in cui in Fisica 1 si calcola l'impulso di una forza: si fa l'integrale $\int_a^b \mathbf{F}dt$ e si ottiene \(\frac{d\mathbf{p}}{dt}\). Probabilmente un altro esempio è il modo in cui si ottengono alcuni tensori (il tensore di inerzia di un corpo rigido, o quello di un corpo non-rigido in meccanica dei continui... probabilmente altri che ora non mi vengono in mente). Ciò che accomuna tutti questi esempi è il fatto che danno informazioni su una distribuzione media (di forze, di massa, etc.), come deve fare un integrale che si rispetti.
Per avere piena potenza però bisogna iniziare a studiare la relazione che esiste tra la soluzione di equazioni differenziali da un lato (non c'è bisogno che spieghi perché gli integrali servono a risolvere tali problemi (-: ) e dall'altro l'integrazione lungo curve definite su cammini contenuti nei loro domini.
L'idea è che localmente ogni tale problema si può risolvere, ma non tutti i ricoprimenti del dominio dove sono definite tante soluzioni definite localmente, e tra loro compatibili, danno luogo a soluzioni definite globalmente: questa proprietà però non è del ricoprimento, bensì è una proprietà inerente al dominio delle equazioni differenziali in studio (è una sua proprietà geometrica, anzi, una proprietà del suo tipo di omotopia). Questa faccenda è l'inizio di una storia meravigliosa che si chiama coomologia di de Rham.
Un esempio semplice mi sembra la maniera in cui in Fisica 1 si calcola l'impulso di una forza: si fa l'integrale $\int_a^b \mathbf{F}dt$ e si ottiene \(\frac{d\mathbf{p}}{dt}\). Probabilmente un altro esempio è il modo in cui si ottengono alcuni tensori (il tensore di inerzia di un corpo rigido, o quello di un corpo non-rigido in meccanica dei continui... probabilmente altri che ora non mi vengono in mente). Ciò che accomuna tutti questi esempi è il fatto che danno informazioni su una distribuzione media (di forze, di massa, etc.), come deve fare un integrale che si rispetti.
Per avere piena potenza però bisogna iniziare a studiare la relazione che esiste tra la soluzione di equazioni differenziali da un lato (non c'è bisogno che spieghi perché gli integrali servono a risolvere tali problemi (-: ) e dall'altro l'integrazione lungo curve definite su cammini contenuti nei loro domini.
L'idea è che localmente ogni tale problema si può risolvere, ma non tutti i ricoprimenti del dominio dove sono definite tante soluzioni definite localmente, e tra loro compatibili, danno luogo a soluzioni definite globalmente: questa proprietà però non è del ricoprimento, bensì è una proprietà inerente al dominio delle equazioni differenziali in studio (è una sua proprietà geometrica, anzi, una proprietà del suo tipo di omotopia). Questa faccenda è l'inizio di una storia meravigliosa che si chiama coomologia di de Rham.
È stata una bella lettura questa 
Io sto pur sempre di parlando di ‘primitiva’ al momento, o comunque di antiderivazione.
Come per ‘ricostruire’ una curva’ sapendo come come varia nel tempo.
Anche avendo una determinata accelerazione istantanea $vec(a)$ si ottiene $intvec(a)(t)dt=v(t)$
Che poi il problema mentale mi è nato nel problema proposto da Rubén in ‘scervelliamoci un po’ della normale, quello sulla dannata formica che non sa saltare per qualche centrimetro!
Ero partito dal voler trovare ‘il percorso più breve’ e sono arrivato qui. Non male come digressione no?
Comunque aspetto ancora una risposta da te!
Io sto pur sempre di parlando di ‘primitiva’ al momento, o comunque di antiderivazione.
Come per ‘ricostruire’ una curva’ sapendo come come varia nel tempo.
Anche avendo una determinata accelerazione istantanea $vec(a)$ si ottiene $intvec(a)(t)dt=v(t)$
Che poi il problema mentale mi è nato nel problema proposto da Rubén in ‘scervelliamoci un po’ della normale, quello sulla dannata formica che non sa saltare per qualche centrimetro!
Ero partito dal voler trovare ‘il percorso più breve’ e sono arrivato qui. Non male come digressione no?
Comunque aspetto ancora una risposta da te!
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