Curiosità topologia e teoria della misura
Ciao a tutti. Volevo porre una domanda a cui non ho trovato risposta: Un insieme aperto (chiuso) può non essere misurabile secondo Peano Jordan?
Per evitare equivoci dò la definizione che utilizzo:
"Un insieme $EsubeRR^2$ è misurabile secondo Peano Jordan se
$f(x,y)={(1 (x ; y)inE), (0 (x ; y)inRR^2 -E):}$
$EE int f(x) dx in RR$ "
Ovviamente intendo l'integrale di Riemann, non quello di Lebesgue.
Ad esempio l'insieme $([0;1]nnQQ)^2$ è non misurabile, ma non è nè aperto nè chiuso. L'insieme di Cantor al quadrato è chiuso, ma è misurabile, di misura nulla.
Questi esempi mi avevano portato a pensare che non potessero esistere insiemi aperti o chiusi che fossero non misurabili secondo Peano Jordan. I miei tentativi di dimostrare questa ipotesi sono però tutti falliti per qualche dettaglio, per cui credo di essermi sbagliato.
Mi piacerebbe sapere come stanno realmente le cose, e se la risposta alla domanda fosse affermativa, conoscere almeno un esempio.
Grazie in anticipo per le risposte.
Per evitare equivoci dò la definizione che utilizzo:
"Un insieme $EsubeRR^2$ è misurabile secondo Peano Jordan se
$f(x,y)={(1 (x ; y)inE), (0 (x ; y)inRR^2 -E):}$
$EE int f(x) dx in RR$ "
Ovviamente intendo l'integrale di Riemann, non quello di Lebesgue.
Ad esempio l'insieme $([0;1]nnQQ)^2$ è non misurabile, ma non è nè aperto nè chiuso. L'insieme di Cantor al quadrato è chiuso, ma è misurabile, di misura nulla.
Questi esempi mi avevano portato a pensare che non potessero esistere insiemi aperti o chiusi che fossero non misurabili secondo Peano Jordan. I miei tentativi di dimostrare questa ipotesi sono però tutti falliti per qualche dettaglio, per cui credo di essermi sbagliato.
Mi piacerebbe sapere come stanno realmente le cose, e se la risposta alla domanda fosse affermativa, conoscere almeno un esempio.
Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
La risposta è negativa. Esistono infatti insiemi aperti non misurabili secondo Peano-Jordan. Un esempio si ottiene "ingrassando" i razionali compresi tra $0$ e $1$, ora non mi ricordo i dettagli (e purtroppo non ho il tempo di ricostruirli), ma è possibile costruire un sottoinsieme proprio di $[0, 1]$, aperto e contenente $QQnn[0, 1]$, dunque denso; inoltre questo sottoinsieme ha misura esterna strettamente minore di $1$. Una proprietà fondamentale della misura secondo Peano Jordan è questa:
$A\subset RR$ è misurabile secondo P.-J. $iff$ $"Int"(A), \bar{A}$ sono misurabili secondo P.-J. e le loro misure coincidono.
Nel nostro caso è $bar{A}=[0, 1]$, dunque di misura $1$, e $"Int"(A)=A$ non arriva ad $1$ con la misura esterna. Ne consegue che $A$ non è misurabile.
Ti chiedo scusa per questa spiegazione fatta davvero con i piedi, spero almeno di averti tolto un dubbio.
$A\subset RR$ è misurabile secondo P.-J. $iff$ $"Int"(A), \bar{A}$ sono misurabili secondo P.-J. e le loro misure coincidono.
Nel nostro caso è $bar{A}=[0, 1]$, dunque di misura $1$, e $"Int"(A)=A$ non arriva ad $1$ con la misura esterna. Ne consegue che $A$ non è misurabile.
Ti chiedo scusa per questa spiegazione fatta davvero con i piedi, spero almeno di averti tolto un dubbio.
L'insieme dei razionali "cicci" si può costruire così.
Sia $(r_n)_{n\ge 0}$ una enumerazione dei razionali in $(0,1)$.
Fissato $\epsilon > 0$, consideriamo l'insieme
$A = (0,1)\cap \bigcup_{n\ge 0} (r_n - \epsilon 2^{-n-1}, r_n + \epsilon 2^{-n-1}).$
In altre parole, il numero razionale $r_n$ viene "ingrassato" con un intorno di misura $\epsilon 2^{-n}$.
Per la subadditività della misura di Lebesgue $m$ abbiamo che
$m(A) \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^n} = \epsilon.$
D'altra parte è facile verificare che $A$ è aperto e che $\bar{A} = [0,1]$, dal momento che $A$ contiene
tutti i razionali di $(0,1)$.
Sia $(r_n)_{n\ge 0}$ una enumerazione dei razionali in $(0,1)$.
Fissato $\epsilon > 0$, consideriamo l'insieme
$A = (0,1)\cap \bigcup_{n\ge 0} (r_n - \epsilon 2^{-n-1}, r_n + \epsilon 2^{-n-1}).$
In altre parole, il numero razionale $r_n$ viene "ingrassato" con un intorno di misura $\epsilon 2^{-n}$.
Per la subadditività della misura di Lebesgue $m$ abbiamo che
$m(A) \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^n} = \epsilon.$
D'altra parte è facile verificare che $A$ è aperto e che $\bar{A} = [0,1]$, dal momento che $A$ contiene
tutti i razionali di $(0,1)$.
Grazie Rigel, la costruzione è perfetta. @robbstark: Rigel ha parlato di misura esterna secondo Lebesgue ma si può dimostrare che anche la misura esterna secondo P. J. di $A$ è minore di $epsilon$.
Intanto grazie per le risposte.
@ dissonance: La domanda era se fosse possibile costruire un insieme aperto non misurabile, quindi la risposta è affermativa, a quanto pare.
Sulla domanda iniziale non ho più dubbi, a parte rivedere un po' i teoremi sulle misure per fare ordine nella mia testa.
Chiedo se sono giuste le seguenti affermazioni, per vedere se davvero ho capito fin dove credo:
1-$[0,1]nnQQ$ è non misurabile secondo Peano Jordan, ma ha misura nulla secondo Lebesgue;
2-L'insieme $A$ dei razionali "cicci" in $[0,1]$ non è misurabile nè secondo Peano Jordan nè secondo Lebesgue;
3-Il complementare di $A$ in $[0,1]$ è chiuso e ugualmente non misurabile;
4-Il complementare di $A$ è un sottoinsieme degli irrazionali ed è denso, inoltre non contiene nessun intervallo;
5-Il complementare di $A$ è più che numerabile, poichè se fosse numerabile avrebbe misura nulla di Lebesgue, mentre in realtà non è misurabile.
Esiste una dimostrazione diretta del fatto che ha la potenza del continuo?
@ dissonance: La domanda era se fosse possibile costruire un insieme aperto non misurabile, quindi la risposta è affermativa, a quanto pare.
Sulla domanda iniziale non ho più dubbi, a parte rivedere un po' i teoremi sulle misure per fare ordine nella mia testa.
Chiedo se sono giuste le seguenti affermazioni, per vedere se davvero ho capito fin dove credo:
1-$[0,1]nnQQ$ è non misurabile secondo Peano Jordan, ma ha misura nulla secondo Lebesgue;
2-L'insieme $A$ dei razionali "cicci" in $[0,1]$ non è misurabile nè secondo Peano Jordan nè secondo Lebesgue;
3-Il complementare di $A$ in $[0,1]$ è chiuso e ugualmente non misurabile;
4-Il complementare di $A$ è un sottoinsieme degli irrazionali ed è denso, inoltre non contiene nessun intervallo;
5-Il complementare di $A$ è più che numerabile, poichè se fosse numerabile avrebbe misura nulla di Lebesgue, mentre in realtà non è misurabile.
Esiste una dimostrazione diretta del fatto che ha la potenza del continuo?
Rispondo a 2: falso - tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue;
e al fatto che l'insieme dei razionali cicci abbia la potenza del continuo: tutti gli aperti hanno questa potenza, perché sono unione numerabile di intervalli aperti (questo però è meno facile da mostrare).
e al fatto che l'insieme dei razionali cicci abbia la potenza del continuo: tutti gli aperti hanno questa potenza, perché sono unione numerabile di intervalli aperti (questo però è meno facile da mostrare).
Provo a rispondere alle domande, nel caso in cui vi siano errori, fucilatemi 
1. esattamente, $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ è unione numerabile di insiemi P-J misurabili. Tale unione però non è P-J misurabile (esempio classico che serve a dimostrare che la famiglia di insiemi P-J misurabili non è stabile rispetto all'unione numerabile). Ha misura nulla secondo Lebesgue.
2. L'insieme $A$ non è misurabile secondo Peano Jordan, ma lo è secondo Lebesgue in quanto unione numerabile di insiemi aperti limitati (quindi misurabili alla Lebesgue), e poichè la famiglia di insiemi L-misurabili $\mathcal{L}$ è una [tex]\sigma[/tex] -algebra segue che $A\in\mathcal{L}$.
3. Il complementare relativo $A^c$ non è misurabile secondo P-J. Infatti vorrei ricordarti che la famiglia di insiemi P-J misurabili [tex]\mathcal{R}[/tex] è un anello (di insiemi). Supponendo che $A^c$ fosse misurabile allora $[0,1]\setminus A^c$ sarebbe P-J misurabile, in quanto differenza di insiemi P-J misurabili, ma allora $[0,1]\setminus([0,1]\setminus A^c)= A$ sarebbe misurabile (Assurdo).
[tex]A^c[/tex] è un insieme misurabile alla lebesgue, lo puoi mostrare lavorando con le proprietà della [tex]\sigma[/tex]- algebra [tex]\mathcal{L}[/tex].
1. esattamente, $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ è unione numerabile di insiemi P-J misurabili. Tale unione però non è P-J misurabile (esempio classico che serve a dimostrare che la famiglia di insiemi P-J misurabili non è stabile rispetto all'unione numerabile). Ha misura nulla secondo Lebesgue.
2. L'insieme $A$ non è misurabile secondo Peano Jordan, ma lo è secondo Lebesgue in quanto unione numerabile di insiemi aperti limitati (quindi misurabili alla Lebesgue), e poichè la famiglia di insiemi L-misurabili $\mathcal{L}$ è una [tex]\sigma[/tex] -algebra segue che $A\in\mathcal{L}$.
3. Il complementare relativo $A^c$ non è misurabile secondo P-J. Infatti vorrei ricordarti che la famiglia di insiemi P-J misurabili [tex]\mathcal{R}[/tex] è un anello (di insiemi). Supponendo che $A^c$ fosse misurabile allora $[0,1]\setminus A^c$ sarebbe P-J misurabile, in quanto differenza di insiemi P-J misurabili, ma allora $[0,1]\setminus([0,1]\setminus A^c)= A$ sarebbe misurabile (Assurdo).
[tex]A^c[/tex] è un insieme misurabile alla lebesgue, lo puoi mostrare lavorando con le proprietà della [tex]\sigma[/tex]- algebra [tex]\mathcal{L}[/tex].
Grazie ancora per la chiarezza delle risposte. Evidentemente mi sono sbagliato sulla misura di Lebesgue (che comunque non ho studiato, e ho intenzione di fare da autodidatta).
Provo a correggere gli errori:
2-L'insieme $A$ è misurabile secondo Lebesgue, e la sua misura dipende dalla particolare numerazione dei razionali utilizzata, oltre che da $epsilon$, inoltre è sicuramente non nulla;
3-Idem per il complementare;
Il punto 4 credo sia corretto. Il punto 5 si trasforma in una domanda:
Si può dire qualcosa riguardo la cardinalità del complementare di $A$?
Io da ignorante direi che sicuramente è un infinito, perchè altrimenti $mis(A^C)=0$ e $mis(A)=1$ (mis=misuraPJ).
Direi anche che se fosse numerabile, $Mis(A^C)=0$, in contrasto col nuovo punto 2. (Mis=misuraL)
Pertanto concluderei che $A^C$ è più che numerabile.
Ho commesso altri errori?
Provo a correggere gli errori:
2-L'insieme $A$ è misurabile secondo Lebesgue, e la sua misura dipende dalla particolare numerazione dei razionali utilizzata, oltre che da $epsilon$, inoltre è sicuramente non nulla;
3-Idem per il complementare;
Il punto 4 credo sia corretto. Il punto 5 si trasforma in una domanda:
Si può dire qualcosa riguardo la cardinalità del complementare di $A$?
Io da ignorante direi che sicuramente è un infinito, perchè altrimenti $mis(A^C)=0$ e $mis(A)=1$ (mis=misuraPJ).
Direi anche che se fosse numerabile, $Mis(A^C)=0$, in contrasto col nuovo punto 2. (Mis=misuraL)
Pertanto concluderei che $A^C$ è più che numerabile.
Ho commesso altri errori?
2, 3: OK;
4, a: Non credo che il complementare in $[0, 1]$ di $A$ sia denso. E' un teorema generale che dato $S$ sottoinsieme di uno spazio topologico $X$ risulta
$\bar{X \setminus S}= X \setminus "Int"(S)$ (la chiusura del complementare è il complementare della parte interna).
Nel nostro caso $X=[0, 1], S=A$; applicando la formula di sopra la chiusura del complementare di $A$ è la parte interna di $A$, ovvero $A$ stesso, che non è tutto $[0, 1]$.
4, b: Sono d'accordo sul fatto che il complementare in $[0, 1]$ di $A$ non contiene alcun intervallo. Usando di nuovo la formula di sopra, stavolta con $S=[0, 1] \setminus A$, si vede che $S$ ha la parte interna vuota, cosa che del resto capita sempre ai complementari degli insiemi densi. Un insieme di numeri reali con parte interna vuota non può contenere intervalli non banali.
5: OK ma c'è un modo più semplice. Detta $m$ la misura di Lebesgue, hai che $1=m[0, 1]= m (A uu [0, 1] \setminus A)=m(A)+m([0, 1]\setminusA)$ da cui il complementare di $A$ ha misura strettamente positiva. Di conseguenza deve essere più che numerabile perché altrimenti avrebbe misura nulla.
Sullo studiare da autodidatta la misura di Lebesgue non saprei se consigliartelo. Studi Matematica?
4, a: Non credo che il complementare in $[0, 1]$ di $A$ sia denso. E' un teorema generale che dato $S$ sottoinsieme di uno spazio topologico $X$ risulta
$\bar{X \setminus S}= X \setminus "Int"(S)$ (la chiusura del complementare è il complementare della parte interna).
Nel nostro caso $X=[0, 1], S=A$; applicando la formula di sopra la chiusura del complementare di $A$ è la parte interna di $A$, ovvero $A$ stesso, che non è tutto $[0, 1]$.
4, b: Sono d'accordo sul fatto che il complementare in $[0, 1]$ di $A$ non contiene alcun intervallo. Usando di nuovo la formula di sopra, stavolta con $S=[0, 1] \setminus A$, si vede che $S$ ha la parte interna vuota, cosa che del resto capita sempre ai complementari degli insiemi densi. Un insieme di numeri reali con parte interna vuota non può contenere intervalli non banali.
5: OK ma c'è un modo più semplice. Detta $m$ la misura di Lebesgue, hai che $1=m[0, 1]= m (A uu [0, 1] \setminus A)=m(A)+m([0, 1]\setminusA)$ da cui il complementare di $A$ ha misura strettamente positiva. Di conseguenza deve essere più che numerabile perché altrimenti avrebbe misura nulla.
Sullo studiare da autodidatta la misura di Lebesgue non saprei se consigliartelo. Studi Matematica?
Sulla densità mi sono espresso male, intendevo che tutti i punti di $A^c$ fossero di accumulazione per $A^c$, ma ho comunque capito che mi sbagliavo. Comunque il tema centrale è stato risolto, e anche un po' di più. L'avere conosciuto un nuovo insieme "strano" mi provoca una serie di domande, ma sono aspetti secondari, su cose che dovrei sapere abbastanza bene. Di nuovo grazie per la collaborazione.
@dissonance: Studio Fisica da 3 anni, ma sono molto interessato alla matematica, non solo come applicazione. Al momento cerco di dedicarmici nel tempo libero, ma in realtà ne trovo molto poco.
@dissonance: Studio Fisica da 3 anni, ma sono molto interessato alla matematica, non solo come applicazione. Al momento cerco di dedicarmici nel tempo libero, ma in realtà ne trovo molto poco.
Il fatto è che per studiare la misura di Lebesgue è opportuno avere delle solide basi di topologia generale. Vedi, anche in questo thread l'abbiamo usata a mani basse. Quindi se proprio vuoi dedicare degli sforzi extra allo studio di qualcosa, ti conviene puntare su questa materia, che tra l'altro credo tu abbia incontrato in qualche corso.
La conoscenza approfondita della topologia ti aiuterà a capire meglio tutte le discipline matematiche. Ti cito una frase di H. Weyl che trovo sul libro Algebra di M.Artin:
La conoscenza approfondita della topologia ti aiuterà a capire meglio tutte le discipline matematiche. Ti cito una frase di H. Weyl che trovo sul libro Algebra di M.Artin:
In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of every individual discipline of mathematics.
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