Curiosità teorica su risoluzioni ODE non omogenee
Buondì, nell'esercitarmi in vista di un'esame di approfondimento di analisi II, stavo pensando al metodo di risoluzione delle ODE non omogenee di grado secondo e superiore e dei sistemi di ODE non omogenee. Non ho alcun problema con questi esercizi, ma non ho capito appieno a livello concettuale il perché di tale algoritmo esecutivo: una generica soluzione particolare da sommare alla generale dell'omogenea associata (e fin qua ok). Proprio qui nasce il mio "perché?": nelle ODEnon omogenee di grado superiore al primo, il wronskiano che viene impostato è quello del sistema che comprende la soluzione particolare, uguagliata a zero, con le costanti incognite derivate moltiplicate per i rispettivi termini in $e$ non derivati (scritti a loro volta in funzione degli autovalori trovati nella generale dell'omogenea associata) e la soluzione particolare con anche i termini derivati, ed uguagliata questa volta al termine noto. Il wronskiano viene poi risolto con Cramer, tramite metodo di variazione delle costanti. Funziona in modo analogo l'impostazione e la risoluzione del wronskiano per i sistemi di ODE non omogenee. Ma perché impostare un sistema del genere? Cioè lo so che serve per ricavare le costanti della soluzione particolare che sarà poi sommata alla generale, ma perché viene impostato proprio così, con che criterio?
Spero si capisca la domanda. Grazie.
Spero si capisca la domanda. Grazie.
Risposte
Il linguaggio simbolico è stato elaborato per evitare di dire mille parole inutili.
Prova a scrivere qualche formula, per far capire qual è il punto.
Prova a scrivere qualche formula, per far capire qual è il punto.
Sì, forse è meglio. Chiedo scusa per la complessità. Se abbiamo una EDO non omogenea tipo $x''+x'+x=e^(5t)$ per dire, l'algoritmo risolutivo prevede che venga risolta l'equazione omogenea associata, trovando gli autovalori, che nel caso siano due distinti avremo una situazione di questo tipo: $x_0(t)=e^(\lambda_1)C_1+e^(\lambda_2)C_2$ e questa rappresenta la soluzione generale dell'omogenea associata. Poi dobbiamo trovare una generica soluzione particolare del tipo: $x_p(t)=e^(t\lambda_1)\phi_1+e^(t\lambda_2)\phi_2$. Ok a questo punto si imposta un sistema del tipo:
${e^(t\lambda_1)\phi_1'+e^(t\lambda_2)\phi_2'=0$
${\lambda_1*e^(t\lambda_1)\phi_1'+\lambda_2*e^(t\lambda_2)\phi_2'=e^(5t)$
Di cui verrà poi risolto il wronskiano, per mezzo di Cramer, col metodo di variazione delle costanti al fine di trovare i due $\phi$, risostituirli in $x_p(t)$ che sarà poi sommata a $x_0(t)$ per trovare la soluzione generale dell'equazione iniziale. Ora, la mia curiosità è: da dove nasce questo metodo risolutivo, che relazione ha con la teoria, quale criterio segue? Anche per le omogenee, come mai le soluzioni sono quelle? Cioè quelle che si trovano con gli autovalori e le costanti incognite? Spero che ora sia stato più chiaro.
${e^(t\lambda_1)\phi_1'+e^(t\lambda_2)\phi_2'=0$
${\lambda_1*e^(t\lambda_1)\phi_1'+\lambda_2*e^(t\lambda_2)\phi_2'=e^(5t)$
Di cui verrà poi risolto il wronskiano, per mezzo di Cramer, col metodo di variazione delle costanti al fine di trovare i due $\phi$, risostituirli in $x_p(t)$ che sarà poi sommata a $x_0(t)$ per trovare la soluzione generale dell'equazione iniziale. Ora, la mia curiosità è: da dove nasce questo metodo risolutivo, che relazione ha con la teoria, quale criterio segue? Anche per le omogenee, come mai le soluzioni sono quelle? Cioè quelle che si trovano con gli autovalori e le costanti incognite? Spero che ora sia stato più chiaro.
Dici che studi un approfondimento di analisi ma non approfondite un bel nulla...si può dimostrare che lo spazio delle soluzioni di una edo lineare del secondo ordine (e in generale di ordine n) è uno spazio lineare di dimensione 2, quindi basta trovare due soluzioni linearmente indipendenti (in un qualche senso) per dire che la soluzione generale è combinazione lineare di quelle due.
E' un esame di approfondimento nel senso che io lo ho inserito nel piano di studi perché mi interessa. Sono interessato a capire il collegamento tra la teoria e le strategie risolutive. Capisco quello che dici, ma la mia curiosità riguardava le strategie risolutive. Com'è che un sistema così impostato si collega all'indipendenza lineare tra le soluzioni? Tipo, perché il wronskiano della non omogenea è impostato in quel modo, o meglio, perché sono quelle le equazioni del wronskiano? Oppure perché le soluzioni generali delle omogenee sono del tipo:
$x_0(t)=e^(t\lambda_1)C_1+e^(t\lambda_2)C1_2$
$x_0(t)=e^(t\lambda)C_1+te^(t\lambda)C_2$
$x_0(t)=e^(t\alpha)cos(t\beta)+e^(t\alpha)sin(t\beta)$
$x_0(t)=e^(t\lambda_1)C_1+e^(t\lambda_2)C1_2$
$x_0(t)=e^(t\lambda)C_1+te^(t\lambda)C_2$
$x_0(t)=e^(t\alpha)cos(t\beta)+e^(t\alpha)sin(t\beta)$
http://www.dma.unifi.it/~pera/am_17-18(2parte).pdf
Leggi la parte finale in cui parla delle edo e del perché di tutte le cose che chiedi.
P.S.: Ovviamente il problema alla base di tutto è sempre e solo uno : testi e didattica all'americana
Leggi la parte finale in cui parla delle edo e del perché di tutte le cose che chiedi.
P.S.: Ovviamente il problema alla base di tutto è sempre e solo uno : testi e didattica all'americana
"umbe":
Sì, forse è meglio. Chiedo scusa per la complessità. Se abbiamo una EDO non omogenea tipo $x''+x'+x=e^(5t)$ per dire, l'algoritmo risolutivo prevede che venga risolta l'equazione omogenea associata, trovando gli autovalori, che nel caso siano due distinti avremo una situazione di questo tipo: $x_0(t)=e^(\lambda_1)C_1+e^(\lambda_2)C_2$ e questa rappresenta la soluzione generale dell'omogenea associata. Poi dobbiamo trovare una generica soluzione particolare del tipo: $x_p(t)=e^(t\lambda_1)\phi_1+e^(t\lambda_2)\phi_2$. Ok a questo punto si imposta un sistema del tipo:
${e^(t\lambda_1)\phi_1'+e^(t\lambda_2)\phi_2'=0$
${\lambda_1*e^(t\lambda_1)\phi_1'+\lambda_2*e^(t\lambda_2)\phi_2'=e^(5t)$
Di cui verrà poi risolto il wronskiano, per mezzo di Cramer, col metodo di variazione delle costanti al fine di trovare i due $\phi$, risostituirli in $x_p(t)$ che sarà poi sommata a $x_0(t)$ per trovare la soluzione generale dell'equazione iniziale. Ora, la mia curiosità è: da dove nasce questo metodo risolutivo, che relazione ha con la teoria, quale criterio segue?
Si chiama Metodo della Variazione delle Costanti, l'ha inventato Lagrange se non ricordo male.
La teoria che c'è dietro è spiegata in tutti i testi decenti di Analisi II.
"umbe":
Anche per le omogenee, come mai le soluzioni sono quelle? Cioè quelle che si trovano con gli autovalori e le costanti incognite?
Perché si dimostra.
Ti conviene studiare da un buon libro di Analisi.
Da che testo studi?
Studio dalle dispense del docente, che non spiegano queste cose e in effetti neppure vengono chieste agli orali di solito (a meno che uno non faccia matematica pura), come ha detto Vulplasir è la pecca della didattica "all'americana". Però era una curiosità mia, perché sì ok gli esercizi li faccio e mi vengono, ma mi piacerebbe capire perché.
Studiare dalle dispense del docente è il miglior modo per passare l'esame e imparare cose sbagliate e dettate dal bias del docente, a meno che le dispense non siano buone e confrontate con diversi testi seri. Nelle dispense che ti ho linkato è ben esposta la teoria elementare delle edo, si dimostra che lo spazio delle soluzioni di una edo lineare del secondo ordine è uno spazio lineare di ordine 2, e quindi la ricerca delle soluzioni si riduce alla sola ricerca di due soluzioni linearmente indipendenti, quindi si dimostra che queste soluzioni sono linearmente indipendenti
$
a seconda delle radici del polinomio caratteristico.
[ot]Oltre che di didattica all'americana, alla buona, molto spesso la causa è anche l'ignoranza del docente stesso riguardo agli argomenti, oltre al fatto che qualsiasi cosa dica non c'è verso che qualche studente gli faccia notare un errore o una mancanza, a meno che non si tratti di errori di calcolo, a quello sono tutti bravi.
Parlo per esperienza personale, il prof di "modelli matematici per la fluidodinamica", matematico, crede cha la vorticità di un fluido sia una proprietà delle "particelle di fluido"...ossia che le "particelle di fluido ruotino su di loro"....per prima cosa non esiste nessuna particella, si tratta di un continuo, inoltre le "particelle" sono i punti materiali del continuo, inteso alla Cauchy, NON hanno gradi di libertà rotazionali! La vorticità NON è una proprietà degli elementi materiali (come sarebbe più consono chiamarli) ma è "una proprietà locale del campo di moto attorno al punto materiale!"...è una differenza abissale! E' il campo di moto che ruota localmente attorno a un punto, NON il punto che ruota su sé stesso...questo credeva che i punti materiali avessero spin!!!!! Roba da mettersi le mani nei capelli, ho dovuto insistere per farglielo capire. Per non parlare poi dei moti a potenziale, di cui ho scritto nella sezione di fisica...inverte ipotesi con tesi, e pure qui ho dovuto insistere per fargli capire che una descrizione puramente cinematica del moto (quale quella con i potenziali) NON può necessariamente soddisfare le equazioni di bilancio del fluido, perché le equazioni di bilancio e le relazioni cinematiche sono due cose distinte...[/ot]
Inoltre le famose edo a variabili separabili sono affrontate nella maniera corretta, non in quell'obbrobrio di porre y'=dy/dx
$
x0(t)=etλ1C1+etλ2C12$
x0(t)=etλC1+tetλC2
x0(t)=etαcos(tβ)+etαsin(tβ)
a seconda delle radici del polinomio caratteristico.
[ot]Oltre che di didattica all'americana, alla buona, molto spesso la causa è anche l'ignoranza del docente stesso riguardo agli argomenti, oltre al fatto che qualsiasi cosa dica non c'è verso che qualche studente gli faccia notare un errore o una mancanza, a meno che non si tratti di errori di calcolo, a quello sono tutti bravi.
Parlo per esperienza personale, il prof di "modelli matematici per la fluidodinamica", matematico, crede cha la vorticità di un fluido sia una proprietà delle "particelle di fluido"...ossia che le "particelle di fluido ruotino su di loro"....per prima cosa non esiste nessuna particella, si tratta di un continuo, inoltre le "particelle" sono i punti materiali del continuo, inteso alla Cauchy, NON hanno gradi di libertà rotazionali! La vorticità NON è una proprietà degli elementi materiali (come sarebbe più consono chiamarli) ma è "una proprietà locale del campo di moto attorno al punto materiale!"...è una differenza abissale! E' il campo di moto che ruota localmente attorno a un punto, NON il punto che ruota su sé stesso...questo credeva che i punti materiali avessero spin!!!!! Roba da mettersi le mani nei capelli, ho dovuto insistere per farglielo capire. Per non parlare poi dei moti a potenziale, di cui ho scritto nella sezione di fisica...inverte ipotesi con tesi, e pure qui ho dovuto insistere per fargli capire che una descrizione puramente cinematica del moto (quale quella con i potenziali) NON può necessariamente soddisfare le equazioni di bilancio del fluido, perché le equazioni di bilancio e le relazioni cinematiche sono due cose distinte...[/ot]
Inoltre le famose edo a variabili separabili sono affrontate nella maniera corretta, non in quell'obbrobrio di porre y'=dy/dx
Ti ringrazio, anche se la parte teorica e queste dimostrazioni non mi serviranno ai fini dell'esame, le studierò per interesse.
Scusa, umbe, ma si può sapere che ti serve sapere per questo esame?
No, perché se non servono nemmeno le dimostrazioni di questi fatti (che sono di base e che tutti gli studenti di Analisi II dovrebbero conoscere già[nota]Beh, almeno tutti quelli che hanno seguito un corso serio...[/nota]), tutto sembra fuorché un esame di approfondimento...
No, perché se non servono nemmeno le dimostrazioni di questi fatti (che sono di base e che tutti gli studenti di Analisi II dovrebbero conoscere già[nota]Beh, almeno tutti quelli che hanno seguito un corso serio...[/nota]), tutto sembra fuorché un esame di approfondimento...
Che poi non si tratta dei massimi sistemi, i concetti di spazio e indipendenza lineare sono noti a chiunque intraprenda studi superiori tecnico-scientifici...può pure dimostrarlo da solo che quelle funzioni sono linearmente indipendenti
Vulplasir, io mi ricordo un prof (un fisico teorico) che era convinto che un campo irrotazionale fosse conservativo. Mi pare di ricordare che fosse scritto sulle sue… dispense. Non posso metterci la mano sul fuoco, visto che parlo di una quarantina d'anni fa. D'altronde, a quei tempi, io avevo delle strane idee sulle soluzioni dei sistemi di EDO lineari. Idee che mi sono tolto insegnando ai... fisici. Fortuna che non mi era passato per la testa di scrivere delle dispense.
E brava Patrizia, che conoscevo da piccolina, poi se n'è ita a Firenze. Però, usare le graffe per indicare una successione... mi sa che non si è affrancata dal Cecconi-Stampacchia, su questo.
Sul punto, una domanda di umbe mi pare meriti più attenzione. Se ho capito bene lui vorrebbe sapere "perché" spuntano gli esponenziali risolvendo una EDO lineare. Ovvero, come è passato per la testa di cercare la soluzione rovistando tra queste funzioni. Se "ho capito male la domanda", mi scuso con umbe e gli altri qui presenti (e abbasso il mio livello di stima nei confronti di umbe, anche se mi sa che riuscirà lo stesso a dormire, stanotte).
Tutto parte dal fatto che la soluzione di y'=y è $e^x$ (a parte costanti moltiplicative). A questo ci si può arrivare seguendo mille strade. Le più "intuitive" potrebbero essere: provare a risolverla in modo approssimato ("numericamente") e accorgersi che quel che si trova assomiglia pericolosamente alla funzione esponenziale; risolvere l'equazione alle differene sua parente stretta (idem; e dopotutto non c'è un abisso tra questa strada e quella della risoluzione numerica); riflettere sul fatto che l'esponenziale è un omomorfismo tra "+" e "$\cdot$", e capire cosa c'entra con l'equazione differenziale...
Da qui a passare a equazioni di secondo ordine, e terzo, etc., è direi ovvio. Ricorda la storia del tizio che di notte aveva perso le chiavi e le cercava sotto la luce del lampione.
Semmai potrebbe essere più interessante immaginare come mai spuntino fuori le combinazioni lineari, etc. Ma, anche qui, una volta che uno si è accorto che le EDO lineari sono lineari, dificile che non spunti il sospetto che lo spazio delle soluzioni abbia qualcosa a che fare con spazi vettoriali.
Oggi è lunedì, il maneggio è chiuso, il fieno l'ho già dato, quindi non devo "tornare ai campi". Ma devo chiudere lo stesso.
E brava Patrizia, che conoscevo da piccolina, poi se n'è ita a Firenze. Però, usare le graffe per indicare una successione... mi sa che non si è affrancata dal Cecconi-Stampacchia, su questo.
Sul punto, una domanda di umbe mi pare meriti più attenzione. Se ho capito bene lui vorrebbe sapere "perché" spuntano gli esponenziali risolvendo una EDO lineare. Ovvero, come è passato per la testa di cercare la soluzione rovistando tra queste funzioni. Se "ho capito male la domanda", mi scuso con umbe e gli altri qui presenti (e abbasso il mio livello di stima nei confronti di umbe, anche se mi sa che riuscirà lo stesso a dormire, stanotte).
Tutto parte dal fatto che la soluzione di y'=y è $e^x$ (a parte costanti moltiplicative). A questo ci si può arrivare seguendo mille strade. Le più "intuitive" potrebbero essere: provare a risolverla in modo approssimato ("numericamente") e accorgersi che quel che si trova assomiglia pericolosamente alla funzione esponenziale; risolvere l'equazione alle differene sua parente stretta (idem; e dopotutto non c'è un abisso tra questa strada e quella della risoluzione numerica); riflettere sul fatto che l'esponenziale è un omomorfismo tra "+" e "$\cdot$", e capire cosa c'entra con l'equazione differenziale...
Da qui a passare a equazioni di secondo ordine, e terzo, etc., è direi ovvio. Ricorda la storia del tizio che di notte aveva perso le chiavi e le cercava sotto la luce del lampione.
Semmai potrebbe essere più interessante immaginare come mai spuntino fuori le combinazioni lineari, etc. Ma, anche qui, una volta che uno si è accorto che le EDO lineari sono lineari, dificile che non spunti il sospetto che lo spazio delle soluzioni abbia qualcosa a che fare con spazi vettoriali.
Oggi è lunedì, il maneggio è chiuso, il fieno l'ho già dato, quindi non devo "tornare ai campi". Ma devo chiudere lo stesso.
[ot]Caro Fioravante, io la storia dell'uomo che cerca le chiavi non la conoscevo e mi sono informato.
La storia, in sintesi, è questa: un uomo, che ha bevuto molto, perde le chiavi di casa in un tratto buio della strada. Siccome è instupidito dalla sbornia, e presumibilmente anche da lucido non deve essere propriamente una cima, si mette a cercare le chiavi sotto un lampione, perché "là c'è luce". Chiaramente, non le troverà mai.
Fine.
Quello che mi sfugge è la relazione tra questa storiella e la ricerca delle soluzioni sotto forma di esponenziali. La mia interpretazione è che le esponenziali sono funzioni che conosciamo e vediamo bene, come il pezzo di strada sotto il lampione. Noi cerchiamo le soluzioni tra le esponenziali, come il sempliciotto cerca le chiavi sotto il lampione. Conclusione: noi siamo dei sempliciotti.
Non credo fosse questa l'implicazione logica che suggerivi tu!
Mi sembra anche divertente notare una coincidenza, proprio oggi ho dovuto prendere le chiavi di riserva per uscire di casa. Credo proprio di aver perso le chiavi. Aspetterò che faccia buio per cercarle sotto il lampione più vicino.[/ot]
La storia, in sintesi, è questa: un uomo, che ha bevuto molto, perde le chiavi di casa in un tratto buio della strada. Siccome è instupidito dalla sbornia, e presumibilmente anche da lucido non deve essere propriamente una cima, si mette a cercare le chiavi sotto un lampione, perché "là c'è luce". Chiaramente, non le troverà mai.
Fine.
Quello che mi sfugge è la relazione tra questa storiella e la ricerca delle soluzioni sotto forma di esponenziali. La mia interpretazione è che le esponenziali sono funzioni che conosciamo e vediamo bene, come il pezzo di strada sotto il lampione. Noi cerchiamo le soluzioni tra le esponenziali, come il sempliciotto cerca le chiavi sotto il lampione. Conclusione: noi siamo dei sempliciotti.
Non credo fosse questa l'implicazione logica che suggerivi tu!
Mi sembra anche divertente notare una coincidenza, proprio oggi ho dovuto prendere le chiavi di riserva per uscire di casa. Credo proprio di aver perso le chiavi. Aspetterò che faccia buio per cercarle sotto il lampione più vicino.[/ot]
Ciao, dissonance.
Volevo dire che, nella vastità delle funzioni reali di variabile reale, vale la pena di cercare (almeno all'inizio) tra quelle che "hanno funzionato bene" nel caso di y'=y. Quindi, non tanto tra le funzioni che meglio conosciamo, ma tra quelle che ci hanno dato soddisfazione nel caso più semplice.
No, non sono d'accordo sul fatto che il tizio fosse un sempliciotto. Anzi, usava una strategia sensata.
Magari non era un paragone furbo, ODE lineari e chiavi/lampione, ma mi sembrava che potesse rendere un po' l'idea.
Per le chiavi perse, auguri!
Volevo dire che, nella vastità delle funzioni reali di variabile reale, vale la pena di cercare (almeno all'inizio) tra quelle che "hanno funzionato bene" nel caso di y'=y. Quindi, non tanto tra le funzioni che meglio conosciamo, ma tra quelle che ci hanno dato soddisfazione nel caso più semplice.
No, non sono d'accordo sul fatto che il tizio fosse un sempliciotto. Anzi, usava una strategia sensata.
Magari non era un paragone furbo, ODE lineari e chiavi/lampione, ma mi sembrava che potesse rendere un po' l'idea.
Per le chiavi perse, auguri!
Adesso ho capito e sono d'accordo. Dipende tutto da come uno racconta la storiella!
Ho anche trovato le chiavi. Grazie per gli auguri!
Ho anche trovato le chiavi. Grazie per gli auguri!
"gugo82":
Scusa, umbe, ma si può sapere che ti serve sapere per questo esame?
No, perché se non servono nemmeno le dimostrazioni di questi fatti (che sono di base e che tutti gli studenti di Analisi II dovrebbero conoscere già[nota]Beh, almeno tutti quelli che hanno seguito un corso serio...[/nota]), tutto sembra fuorché un esame di approfondimento...
Non so a che corsi ti riferisci, essendo tu matematico puro, ma il corso che ho seguito io è di scienze dei materiali.
"gugo82":
[quote="umbe"]Sì, forse è meglio. Chiedo scusa per la complessità. Se abbiamo una EDO non omogenea tipo $x''+x'+x=e^(5t)$ per dire, l'algoritmo risolutivo prevede che venga risolta l'equazione omogenea associata, trovando gli autovalori, che nel caso siano due distinti avremo una situazione di questo tipo: $x_0(t)=e^(\lambda_1)C_1+e^(\lambda_2)C_2$ e questa rappresenta la soluzione generale dell'omogenea associata. Poi dobbiamo trovare una generica soluzione particolare del tipo: $x_p(t)=e^(t\lambda_1)\phi_1+e^(t\lambda_2)\phi_2$. Ok a questo punto si imposta un sistema del tipo:
${e^(t\lambda_1)\phi_1'+e^(t\lambda_2)\phi_2'=0$
${\lambda_1*e^(t\lambda_1)\phi_1'+\lambda_2*e^(t\lambda_2)\phi_2'=e^(5t)$
Di cui verrà poi risolto il wronskiano, per mezzo di Cramer, col metodo di variazione delle costanti al fine di trovare i due $\phi$, risostituirli in $x_p(t)$ che sarà poi sommata a $x_0(t)$ per trovare la soluzione generale dell'equazione iniziale. Ora, la mia curiosità è: da dove nasce questo metodo risolutivo, che relazione ha con la teoria, quale criterio segue?
Si chiama Metodo della Variazione delle Costanti, l'ha inventato Lagrange se non ricordo male.
La teoria che c'è dietro è spiegata in tutti i testi decenti di Analisi II.
"umbe":
Anche per le omogenee, come mai le soluzioni sono quelle? Cioè quelle che si trovano con gli autovalori e le costanti incognite?
Perché si dimostra.
Ti conviene studiare da un buon libro di Analisi.
Da che testo studi?[/quote]
Ah sì, comunque ho anche il Bramanti-Pagani-Salsa, non so se lo consideri un buon testo.
Gettalo.
E prendi un testo serio.
E prendi un testo serio.
@umbe la matematica di base che si studia in una triennale scientifica/tecnica è settecentesca/ottocentesca...non serve un "matematico puro" per saperla.
"gugo82":
Gettalo.
E prendi un testo serio.
Quale mi consigli?
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