Curiosità teorica su risoluzioni ODE non omogenee
Buondì, nell'esercitarmi in vista di un'esame di approfondimento di analisi II, stavo pensando al metodo di risoluzione delle ODE non omogenee di grado secondo e superiore e dei sistemi di ODE non omogenee. Non ho alcun problema con questi esercizi, ma non ho capito appieno a livello concettuale il perché di tale algoritmo esecutivo: una generica soluzione particolare da sommare alla generale dell'omogenea associata (e fin qua ok). Proprio qui nasce il mio "perché?": nelle ODEnon omogenee di grado superiore al primo, il wronskiano che viene impostato è quello del sistema che comprende la soluzione particolare, uguagliata a zero, con le costanti incognite derivate moltiplicate per i rispettivi termini in $e$ non derivati (scritti a loro volta in funzione degli autovalori trovati nella generale dell'omogenea associata) e la soluzione particolare con anche i termini derivati, ed uguagliata questa volta al termine noto. Il wronskiano viene poi risolto con Cramer, tramite metodo di variazione delle costanti. Funziona in modo analogo l'impostazione e la risoluzione del wronskiano per i sistemi di ODE non omogenee. Ma perché impostare un sistema del genere? Cioè lo so che serve per ricavare le costanti della soluzione particolare che sarà poi sommata alla generale, ma perché viene impostato proprio così, con che criterio?
Spero si capisca la domanda. Grazie.
Spero si capisca la domanda. Grazie.
Risposte
"Vulplasir":
@umbe la matematica di base che si studia in una triennale scientifica/tecnica è settecentesca/ottocentesca...non serve un "matematico puro" per saperla.
Non ho detto questo infatti, ma so che voi puri, matematici e fisici, avete un approccio allo studio della materia assai diverso da quelli delle scienze applicate, come ingegneria o altre: molto più minuziosi e pignoli, ed è giusto così. Un ingegnere (poi dipende da che branca), un informatico o un chimico non sanno un sacco di cose che sapete voi dell'analisi, della fisica, della geometria o dell'algebra, che tu magari consideri "di base". Sanno quello che serve loro per affrontare i corsi caratterizzanti: basta confrontare il programma del corso, che so, di analisi I o analisi II di matematica o fisica con l'omologo di un corso di ingegneria, informatica o di un'altra facoltà scientifica. Si consideri per esempio che in queste facoltà, analisi, algebra e geometria sono quasi sempre parte di un solo esame, in genere da dieci o dodici cfu (di solito stessa cosa per analisi II che vale un po' meno cfu); mentre nei corsi di matematica o fisica pura, geometria, algebra e analisi sono esami diversi: frequente trovare analisi I, geometria I, algebra I. analisi II, geometria II, algebra II, analisi III, geometria III, algebra III; con gli esami di analisi da 12 cfu e gli altri almeno da 8 ciascuno. Quindi molte cose che magari tu definisci "di base" studenti di altri corsi non le sanno, semplicemente perché non gli servono. Infatti questo argomento (equazioni differenziali) nelle facoltà scientifiche al di fuori di matematica e fisica, non è di base.
Innanzitutto, Vulplasir è un ingegnere (meccanico, se non ricordo male), quindi hai proprio sbagliato palazzo.
Secondo, chiunque ti abbia messo in testa le idee che hai espresso ti ha grandemente preso per i fondelli.
Non solo, ma tu glielo hai anche permesso pensando: "Bella questa strada semplice-semplice, meno lavoro per me..." Peccato che ciò mini nel profondo le tue doti da ingegnere, rendendo la tua formazione poco più avanzata di quella di un operaio.
Terzo: il Pagani & Salsa, il Giusti, ma anche il più facile Marcellini & Sbordone (edizioni pre-riforma) spiegano questi argomenti nel dettaglio.
Studiali.
Dulcis in fundo.
Le equazioni differenziali non sono di base???
Guarda, ragazzo, te lo dico con tutto il bene: meglio che rivedi tutto ciò che hai studiato finora, perché tutta l'ingegneria e la fisica sono fondate sulle equazioni differenziali (e quelle alle differenze).
Se non hai compreso ciò, c'è qualcosa che non va o nel tuo corso di laurea o nel tuo modo di studiare.
Prova a porre rimedio finché sei in tempo.
P.S.: Mi auguro per te che tu non provenga da un liceo scientifico, altrimenti queste posizioni sono 10 volte più gravi.
Secondo, chiunque ti abbia messo in testa le idee che hai espresso ti ha grandemente preso per i fondelli.
Non solo, ma tu glielo hai anche permesso pensando: "Bella questa strada semplice-semplice, meno lavoro per me..." Peccato che ciò mini nel profondo le tue doti da ingegnere, rendendo la tua formazione poco più avanzata di quella di un operaio.
Terzo: il Pagani & Salsa, il Giusti, ma anche il più facile Marcellini & Sbordone (edizioni pre-riforma) spiegano questi argomenti nel dettaglio.
Studiali.
Dulcis in fundo.
Le equazioni differenziali non sono di base???
Guarda, ragazzo, te lo dico con tutto il bene: meglio che rivedi tutto ciò che hai studiato finora, perché tutta l'ingegneria e la fisica sono fondate sulle equazioni differenziali (e quelle alle differenze).
Se non hai compreso ciò, c'è qualcosa che non va o nel tuo corso di laurea o nel tuo modo di studiare.
Prova a porre rimedio finché sei in tempo.
P.S.: Mi auguro per te che tu non provenga da un liceo scientifico, altrimenti queste posizioni sono 10 volte più gravi.
uindi molte cose che magari tu definisci "di base" studenti di altri corsi non le sanno, semplicemente perché non gli servono
Questo è quello che vogliono farti credere, in verità ti stanno solamente riducendo la formazione...vai a vedere gli esami che hanno fatto i vari prof di ingegneria (o quel che fai tu) quando la laurea era quinquiennale, il biennio era in comune con matematica/fisica (almeno qui a Firenze), ed era un "biennio propedeutico", quindi analisi matematica, geometria, meccanica razionale, analisi complessa o altro. Quando e se farai corsi specialistici "applicati", ti renderai conto che i prof sanno molto di più di quello che ti hanno insegnato (non perché sono professori, ma perché nella loro formazione gli è stato insegnato...), per esempio il prof di dinamica dei sistemi meccanici si stupisce che non sappiamo nulla di serie e trasformata di Fourier, di convoluzione (il concetto di convoluzione l'ho trovato in 3 corsi alla magistrale...ovviamente nessuno sapeva cos'era e quindi scrivono sugli appunti: "questo si ottiene come convoluzione di questo e quello", ma di cosa sia che ce ne frega, tanto la fa qualcun altro...eppure è roba settecentesca, la sapeva Fourier...).
Con l'introduzione delle lauree brevi l'obiettivo formativo dell'università è andato perso, l'interesse è solo quello di attrarre il maggior numero di studenti (come? dicendo loro che faranno poca matematica...) e di riversarli alle aziende locali (i ruoli per cui si viene assunti di soliti sono amministrativo/gestionali, non richiedono grande formazione, ma solo "team working" e altre stronzate).
Non ce l'ho con te, ma con quelli che hanno deciso la didattica del tuo corso e tutto il resto, come anche del mio, svalutando gli studenti e offendendo la loro intelligenza nel proporre esami e programmi semplificati.
Guarda per esempio questo post di qualche tempo fa
com-era-il-vecchio-ordinamento-t99742.html
Come vedi, nel grandissimo politecnico di torino, gli studenti trovano gli esami di base semplici e fatti coi piedi, e c'è chi mi viene a dire che su al Nord sono più severi e la laurea vale d più. Purtroppo con l'introduzione delle lauree brevi la serietà dei corsi è andata un po' persa, al primo anno si iscrivono cani e porci, perché tanto 3 anni che vuoi che siano...prima invece c'era la consapevolezza che in 5 anni di ingegneria, ce ne mettevi almeno 8-9 se non avevi voglia, e quindi molti ci pensavano due volte prima di iscriversi.
Ah, non sapevo Vulplasir fosse ingegnere: pensavo che questo fosse un covo di puristi 
... Comunque, vedete? Non è che le cose me le invento o sono io ad essere ritardato Me lo confermate voi che sono idee diffuse. E me lo dici tu Vulplasir, che mi citi analisi complessa. Ecco, in merito ad essa, guardando i corsi di ingegneria o scienze dei materiali triennali, presi da ogni dove (e ne ho spulciati parecchi per curiosità), analisi complessa è presente solo in alcuni corsi d'indirizzo industriale (la maggior parte si fermano ad analisi 2 ed equazioni differenziali, pochi ad analisi funzionale). Un mio amico d'infanzia, ed ex coinquilino, si è laureato in triennale di ingegneria meccanica (come te), quest'estate (due anni fuori corso) al politecnico di Milano. Se guardi il programma di questo corso (ma anche quello di ingegneria elettrica per esempio), ci sono in triennale solo due esami di matematica, da 10 cfu l'uno (analisi e geom 1 e analisi e geom 2); eventualmente un terzo su EDP e calcolo numerico al terzo anno, ma solo per uno dei tanti indirizzi a scelta. Ad ogni modo lo dico parlando anche con altri amici che studiano ingegneria, i quali tante cose di base non le ricordano o comunque non c'è paragone tra le loro conoscenze e quelle di un purista.
E sì sono d'accordo: si tende sempre di più a preparare "all'americana", sempre più a sviluppare soft skills e altre qualità di carattere più aziendale che formativo.
... Comunque, vedete? Non è che le cose me le invento o sono io ad essere ritardato Me lo confermate voi che sono idee diffuse. E me lo dici tu Vulplasir, che mi citi analisi complessa. Ecco, in merito ad essa, guardando i corsi di ingegneria o scienze dei materiali triennali, presi da ogni dove (e ne ho spulciati parecchi per curiosità), analisi complessa è presente solo in alcuni corsi d'indirizzo industriale (la maggior parte si fermano ad analisi 2 ed equazioni differenziali, pochi ad analisi funzionale). Un mio amico d'infanzia, ed ex coinquilino, si è laureato in triennale di ingegneria meccanica (come te), quest'estate (due anni fuori corso) al politecnico di Milano. Se guardi il programma di questo corso (ma anche quello di ingegneria elettrica per esempio), ci sono in triennale solo due esami di matematica, da 10 cfu l'uno (analisi e geom 1 e analisi e geom 2); eventualmente un terzo su EDP e calcolo numerico al terzo anno, ma solo per uno dei tanti indirizzi a scelta. Ad ogni modo lo dico parlando anche con altri amici che studiano ingegneria, i quali tante cose di base non le ricordano o comunque non c'è paragone tra le loro conoscenze e quelle di un purista.E sì sono d'accordo: si tende sempre di più a preparare "all'americana", sempre più a sviluppare soft skills e altre qualità di carattere più aziendale che formativo.
"gugo82":
Innanzitutto, Vulplasir è un ingegnere (meccanico, se non ricordo male), quindi hai proprio sbagliato palazzo.
Secondo, chiunque ti abbia messo in testa le idee che hai espresso ti ha grandemente preso per i fondelli.
Non solo, ma tu glielo hai anche permesso pensando: "Bella questa strada semplice-semplice, meno lavoro per me..." Peccato che ciò mini nel profondo le tue doti da ingegnere, rendendo la tua formazione poco più avanzata di quella di un operaio.
Terzo: il Pagani & Salsa, il Giusti, ma anche il più facile Marcellini & Sbordone (edizioni pre-riforma) spiegano questi argomenti nel dettaglio.
Studiali.
Dulcis in fundo.
Le equazioni differenziali non sono di base???
Guarda, ragazzo, te lo dico con tutto il bene: meglio che rivedi tutto ciò che hai studiato finora, perché tutta l'ingegneria e la fisica sono fondate sulle equazioni differenziali (e quelle alle differenze).
Se non hai compreso ciò, c'è qualcosa che non va o nel tuo corso di laurea o nel tuo modo di studiare.
Prova a porre rimedio finché sei in tempo.
P.S.: Mi auguro per te che tu non provenga da un liceo scientifico, altrimenti queste posizioni sono 10 volte più gravi.
Sì, ho fatto il liceo scientifico, ma non vedo cosa c'entri dato che al liceo scientifico delle equazioni differenziali non si vede neppure l'ombra e si affronta solo la prima parte dell'analisi 1. Ma probabilmente mi avete frainteso. Intendo che le equazioni differenziali non sono le cose più di base nello studio dell'analisi matematica. Poi certo sono di base per altri corsi di studio. Le ho ritrovate infatti in geofisica, geologia applicata, geotecnica etc. Quando ho parlato delle differenze tra puristi e non, non dicevo che questi ultimi non debbano studiare le stesse cose dei primi, ma che molte cose che studiano i primi, gli ultimi non le studiano. Insomma, quello che voglio dire è: se nei corsi di matematica ci sono nove esami tra analisi, geometria e algebra, contro i due o tre di analisi e geometria nelle altre facoltà scientifiche, è perché, e lo si vede confrontando i programmi, le cose sono molto più approfondite nella matematica pura.
Ancora con questa differenza tra puristi e non puristi...il tuo dubbio era : "ma perché la soluzione è data da $c_1e^(lamda_1t)+c_2e^(lamda_2t)$?" Secondo te, per saperlo, di vuole un "purista"? Le cose base a te ti sembrano da "puristi" perché il livello con cui te le insegnano ha toccato il fondo, tanto che un semplice ragionamento sul perché una cosa è così ti sembra roba dell'altro mondo...
Ad ogni modo lo dico parlando anche con altri amici che studiano ingegneria e che tante cose non le ricordano
“Non le ricordano” o non le sanno?
Sono cose ben diverse.
Poi, ovviamente, la questione dei programmi dei corsi universitari è tutta questione di “culo”.
Chiaro che un’università che ha accanto una grossa azienda automobilistica (per dire), alla quale non interessano ingegneri (perché sono decenni che non produce auto interessanti sotto il punto di vista tecnologico) ma solo operai pseudo-specializzati da piazzare in catena, può permettersi di fornire corsi di laurea in cui la parte teorica è sviluppata male o totalmente tralasciata... Tanto i suoi studenti escono di lì ed hanno il lavoro assicurato: vanno a fare, per l’appunto, gli operai nell’azienda lì di fianco.
Invece, un’università che è più lontana da certi contesti occupazionali o forma ingegneri “con le palle”, fornendo loro corsi decenti, altrimenti non trovano lavoro; oppure restaun diplomificio che campa sulle tasse universitarie degli iscritti e se ne frega di offrire loro vere opportunità.
"Vulplasir":
Ancora con questa differenza tra puristi e non puristi...il tuo dubbio era : "ma perché la soluzione è data da $c_1e^(lamda_1t)+c_2e^(lamda_2t)$?" Secondo te, per saperlo, di vuole un "purista"? Le cose base a te ti sembrano da "puristi" perché il livello con cui te le insegnano ha toccato il fondo, tanto che un semplice ragionamento sul perché una cosa è così ti sembra roba dell'altro mondo...
Non è vero che mi sembra fuori dal mondo, ho solo chiesto perché non ho trovato un testo in cui fosse spiegato bene; tutto qua. Non c'è bisogno di scaldarsi.
E no (questa è la riprova che sono stato frainteso, avete un po' sopravvalutato le mie lacune) non penso assolutamente serva un purista per sapere quello che avevo chiesto. Anzi mi sembra molto di base: tant'è che non è quello ciò che avevo chiesto, ma il perché del sistema del wronskiano. In effetti ho chiesto delle EDO omogenee, sulle quali non avevo dubbi, per errore (dovevo cancellare quella parte ma mi sono scordato).
"gugo82":Ad ogni modo lo dico parlando anche con altri amici che studiano ingegneria e che tante cose non le ricordano
“Non le ricordano” o non le sanno?
Sono cose ben diverse.
Poi, ovviamente, la questione dei programmi dei corsi universitari è tutta questione di “culo”.
Chiaro che un’università che ha accanto una grossa azienda automobilistica (per dire), alla quale non interessano ingegneri (perché sono decenni che non produce auto interessanti sotto il punto di vista tecnologico) ma solo operai pseudo-specializzati da piazzare in catena, può permettersi di fornire corsi di laurea in cui la parte teorica è sviluppata male o totalmente tralasciata... Tanto i suoi studenti escono di lì ed hanno il lavoro assicurato: vanno a fare, per l’appunto, gli operai nell’azienda lì di fianco.
Invece, un’università che è più lontana da certi contesti occupazionali o forma ingegneri “con le palle”, fornendo loro corsi decenti, altrimenti non trovano lavoro; oppure restano diplomifici che campano sulle tasse universitarie degli iscritti e se ne fregano di offrire loro vere opportunità.
Ma anche io, per dire, molte cose dell'algebra lineare non me le ricordavo, e ho dovuto ripassarmele o ristudiarmele per bene, per questo esame.
Quali università sono ancora così integerrime dal tuo punto di vista? Se hai fatto in tempo (perché ho modificato) a leggere l'esperienza del mio amico, che si è laureato in ingegneria meccanica al politecnico di Milano, vedi che anche lì non ha studiato tutta questa matematica oltre le EDO.
Ritorno IT.
Perché il sistema del wronskiano, chiedevi, per una EDO a coefficienti costanti del secondo ordine.
Il problema da cui si parte è:
L’idea di Lagrange è semplice: dato che tutte le soluzioni dell’omogenea si scrivono combinando linearmente le due soluzioni \(y_1(x)\) ed \(y_2(x)\) con delle costanti $gamma_1,gamma_2$ (i.e., scrivendo \(y(x) = \gamma_1 y_1(x) + \gamma_2 y_2(x)\), posso provare a costruire una soluzione della EDO completa combinando le due soluzioni dell’omogenea usando funzioni $gamma_1(x), gamma_2(x)$, ossia scrivendo \(y(x) = \gamma_1(x) y_1(x) + \gamma_2(x) y_2(x)\).
Proviamo a far funzionare l’idea di Lagrange.
Innanzitutto, osserviamo che le due funzioni $gamma_(1,2)(x)$ devono essere derivabili almeno una volta, altrimenti la funzione $y(x)$ non ha la regolarità che serve per essere una soluzione.
Supponiamo allora che $gamma_(1,2)(x)$ siano derivabili e deriviamo $y(x)$: troviamo:
\[
y^\prime (x) = \gamma_1(x) y_1^\prime (x) + \gamma_2(x) y_2^\prime (x) + \gamma_1^\prime (x) y_1(x) + \gamma_2^\prime (x) y_2(x)\; ;
\]
questa espressione della derivata di $y(x)$ coinvolge le derivate prime delle $gamma_(1,2)(x)$ e perciò, se non vogliamo richiedere più regolarità alle $gamma_(1,2)(x)$, la $y(x)$ non può essere derivabile più di una volta... A meno che (ideona!), per esempio, la parte contenente le derivate delle $gamma_(1,2)(x)$ non risulti identicamente nulla.
Allora, supponiamo pure che:
\[
\tag{A} \gamma_1^\prime (x) y_1(x) + \gamma_2^\prime (x) y_2(x) = 0\; ;
\]
in tal caso, la derivata della $y(x)$ diventa:
\[
y^\prime (x) = \gamma_1(x) y_1^\prime (x) + \gamma_2(x) y_2^\prime (x)
\]
e la possiamo derivare un’altra volta, ottenendo:
\[
y^{\prime \prime} (x) = \gamma_1(x) y_1^{\prime \prime} (x) + \gamma_2(x) y_2^{\prime\prime} (x) + \gamma_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + \gamma_2^\prime (x) y_2^\prime (x)\;.
\]
Ora, abbiamo $y(x), y^\prime(x), y^{\prime \prime}(x)$ e possiamo provare a sostituire nella EDO e vedere cosa succede: ricordando il fatto che le $y_(1,2)(x)$ soddisfano la EDO omogenea, i.e. cioè che \(y_{1,2}^{\prime \prime}(x) + b y_{1,2}^\prime (x) +c y_{1,2}(x) = 0\), sostituendo si trova:
\[
\tag{B} \gamma_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + \gamma_2^\prime (x) y_2^\prime (x) = f(x)\;.
\]
Dunque, se vogliamo che $y(x) = gamma_1(x) y_1(x) + gamma_2(x) y_2(x)$ risolva la EDO dobbiamo ricercare due funzioni $gamma_(1,2)(x)$ che siano derivabili nell’intervallo che ci interessa e tali da soddisfare contemporaneamente le (A) e (B), cioè il sistema:
\[
\begin{cases}
\gamma_1^\prime (x) y_1(x) + \gamma_2^\prime (x) y_2(x) = 0\\
\gamma_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + \gamma_2^\prime (x) y_2^\prime (x) = f(x)
\end{cases}\; .
\]
Tale sistema ha unica soluzione, poiché è di Cramer ed ha il determinante dei coefficienti uguale al wronskiano $W(x)$ delle soluzioni $y_(1,2)(x)$, il quale è ovunque diverso da zero per il fatto che le $y_(1,2)(x)$ sono indipendenti: ne viene che:
\[
\begin{split}
\gamma_1^\prime (x) &= \frac{1}{W(x)}\ \begin{vmatrix} 0 & y_2(x) \\ f(x) & y_2^\prime (x) \end{vmatrix} \\
\gamma_2^\prime (x) &= \frac{1}{W(x)}\ \begin{vmatrix} y_1 (x) & 0 \\ y_1^\prime (x) & f(x) \end{vmatrix}
\end{split}
\]
e dunque l’idea di Lagrange funziona non appena si scelgono come $gamma_(1,2)(x)$ due primitive (qualsiasi) delle $gamma_(1,2)^\prime (x)$ determinate sopra.
Perché il sistema del wronskiano, chiedevi, per una EDO a coefficienti costanti del secondo ordine.
Il problema da cui si parte è:
Come faccio a costruire una soluzione della EDO completa \(y^{\prime \prime}(x) + b y^\prime (x) +c y(x) = f(x)\) se conosco due soluzioni indipendenti \(y_1(x)\) ed \(y_2(x)\) della EDO omogenea \(y^{\prime \prime}(x) + b y^\prime (x) +c y(x) = 0\)?
L’idea di Lagrange è semplice: dato che tutte le soluzioni dell’omogenea si scrivono combinando linearmente le due soluzioni \(y_1(x)\) ed \(y_2(x)\) con delle costanti $gamma_1,gamma_2$ (i.e., scrivendo \(y(x) = \gamma_1 y_1(x) + \gamma_2 y_2(x)\), posso provare a costruire una soluzione della EDO completa combinando le due soluzioni dell’omogenea usando funzioni $gamma_1(x), gamma_2(x)$, ossia scrivendo \(y(x) = \gamma_1(x) y_1(x) + \gamma_2(x) y_2(x)\).
Proviamo a far funzionare l’idea di Lagrange.
Innanzitutto, osserviamo che le due funzioni $gamma_(1,2)(x)$ devono essere derivabili almeno una volta, altrimenti la funzione $y(x)$ non ha la regolarità che serve per essere una soluzione.
Supponiamo allora che $gamma_(1,2)(x)$ siano derivabili e deriviamo $y(x)$: troviamo:
\[
y^\prime (x) = \gamma_1(x) y_1^\prime (x) + \gamma_2(x) y_2^\prime (x) + \gamma_1^\prime (x) y_1(x) + \gamma_2^\prime (x) y_2(x)\; ;
\]
questa espressione della derivata di $y(x)$ coinvolge le derivate prime delle $gamma_(1,2)(x)$ e perciò, se non vogliamo richiedere più regolarità alle $gamma_(1,2)(x)$, la $y(x)$ non può essere derivabile più di una volta... A meno che (ideona!), per esempio, la parte contenente le derivate delle $gamma_(1,2)(x)$ non risulti identicamente nulla.
Allora, supponiamo pure che:
\[
\tag{A} \gamma_1^\prime (x) y_1(x) + \gamma_2^\prime (x) y_2(x) = 0\; ;
\]
in tal caso, la derivata della $y(x)$ diventa:
\[
y^\prime (x) = \gamma_1(x) y_1^\prime (x) + \gamma_2(x) y_2^\prime (x)
\]
e la possiamo derivare un’altra volta, ottenendo:
\[
y^{\prime \prime} (x) = \gamma_1(x) y_1^{\prime \prime} (x) + \gamma_2(x) y_2^{\prime\prime} (x) + \gamma_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + \gamma_2^\prime (x) y_2^\prime (x)\;.
\]
Ora, abbiamo $y(x), y^\prime(x), y^{\prime \prime}(x)$ e possiamo provare a sostituire nella EDO e vedere cosa succede: ricordando il fatto che le $y_(1,2)(x)$ soddisfano la EDO omogenea, i.e. cioè che \(y_{1,2}^{\prime \prime}(x) + b y_{1,2}^\prime (x) +c y_{1,2}(x) = 0\), sostituendo si trova:
\[
\tag{B} \gamma_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + \gamma_2^\prime (x) y_2^\prime (x) = f(x)\;.
\]
Dunque, se vogliamo che $y(x) = gamma_1(x) y_1(x) + gamma_2(x) y_2(x)$ risolva la EDO dobbiamo ricercare due funzioni $gamma_(1,2)(x)$ che siano derivabili nell’intervallo che ci interessa e tali da soddisfare contemporaneamente le (A) e (B), cioè il sistema:
\[
\begin{cases}
\gamma_1^\prime (x) y_1(x) + \gamma_2^\prime (x) y_2(x) = 0\\
\gamma_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + \gamma_2^\prime (x) y_2^\prime (x) = f(x)
\end{cases}\; .
\]
Tale sistema ha unica soluzione, poiché è di Cramer ed ha il determinante dei coefficienti uguale al wronskiano $W(x)$ delle soluzioni $y_(1,2)(x)$, il quale è ovunque diverso da zero per il fatto che le $y_(1,2)(x)$ sono indipendenti: ne viene che:
\[
\begin{split}
\gamma_1^\prime (x) &= \frac{1}{W(x)}\ \begin{vmatrix} 0 & y_2(x) \\ f(x) & y_2^\prime (x) \end{vmatrix} \\
\gamma_2^\prime (x) &= \frac{1}{W(x)}\ \begin{vmatrix} y_1 (x) & 0 \\ y_1^\prime (x) & f(x) \end{vmatrix}
\end{split}
\]
e dunque l’idea di Lagrange funziona non appena si scelgono come $gamma_(1,2)(x)$ due primitive (qualsiasi) delle $gamma_(1,2)^\prime (x)$ determinate sopra.
Rileggendo per caso il Pagani-Salsa analisi 2, questa parte è fatta molto bene...ma che ha combinato Bramanti a quel libro...
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