Curiosità sulle successioni
Ciao a tutti, mi è venuto in mente questo ragionamento forse un po' strano 
ma volevo chiedervi se secondo voi ha un senso!
Dunque, consideriamo l'insieme $S = { a=(a_n)_{n in NN} " tale che " AA n in NN, a_n >=0, " e tale che " EE lim_{n->+oo} a_n " (eventualmente"+oo") "}$, cioè l'insieme delle successioni reali non negative che non siano indeterminate (quindi o convergenti o divergenti).
Poiché $AA a in S$, $lim_{n->+oo} a_n in [0,+oo]$, allora $AA a,b in S$, $lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) in [0,+oo]$ (non sono veramente sicuro che questo limite esista sempre ma credo proprio di sì, altrimenti correggetemi grazie).
Introduciamo ora la relazione $rho$ su $S$ definita così: $AA a,b in S, \quad a rho b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) = 1$.
Allora $rho$ è una relazione di equivalenza (la verifica è immediata).
Consideriamo allora l'insieme quoziente $S' = S \/ rho$. L'idea di questo insieme è che la relazione identifica tutte le successioni che hanno la stessa velocità di convergenza/divergenza, quindi in $S'$ ogni classe rappresenta in un certo senso un preciso comportamento asintotico.
Introduciamo ora su $S'$ un ordine totale definito così: $AA a,b in S'$, $a < b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) < 1$ (e ovviamente $a=b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n)=1$, e $a>b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) > 1$).
L'insieme $(S', <=)$ è quindi un insieme totalmente ordinato. L'idea dell'ordine è che $a
Ora, poiché su $S$ e quindi su $S'$ le successioni sono o convergenti o divergenti, possiamo scrivere $S' = C uu D$, dove $C$ è l'insieme delle successioni convergenti e $D$ quelle divergenti.
E' chiaro che:
a) Se $a in C$ e $b <= a$ allora $b in C$.
b) Se $a in D$ e $b >= a$ allora $b in D$.
La domanda alla fine di tutto questo discorso è: ha senso cercare $"sup" C$ e $"inf" D$? Se sì, chi sono? [Il ragionamento strano alla base di questa domanda è quello di andare a capire "in che punto" c'è il passaggio tra successione convergente e successione divergente, in senso lato "l'ultima" successione convergente e "la prima" successione divergente].
Spero di non aver scritto troppe corbellerie...
ma volevo chiedervi se secondo voi ha un senso!Dunque, consideriamo l'insieme $S = { a=(a_n)_{n in NN} " tale che " AA n in NN, a_n >=0, " e tale che " EE lim_{n->+oo} a_n " (eventualmente"+oo") "}$, cioè l'insieme delle successioni reali non negative che non siano indeterminate (quindi o convergenti o divergenti).
Poiché $AA a in S$, $lim_{n->+oo} a_n in [0,+oo]$, allora $AA a,b in S$, $lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) in [0,+oo]$ (non sono veramente sicuro che questo limite esista sempre ma credo proprio di sì, altrimenti correggetemi grazie).
Introduciamo ora la relazione $rho$ su $S$ definita così: $AA a,b in S, \quad a rho b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) = 1$.
Allora $rho$ è una relazione di equivalenza (la verifica è immediata).
Consideriamo allora l'insieme quoziente $S' = S \/ rho$. L'idea di questo insieme è che la relazione identifica tutte le successioni che hanno la stessa velocità di convergenza/divergenza, quindi in $S'$ ogni classe rappresenta in un certo senso un preciso comportamento asintotico.
Introduciamo ora su $S'$ un ordine totale definito così: $AA a,b in S'$, $a < b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) < 1$ (e ovviamente $a=b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n)=1$, e $a>b iff lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) > 1$).
L'insieme $(S', <=)$ è quindi un insieme totalmente ordinato. L'idea dell'ordine è che $a
Ora, poiché su $S$ e quindi su $S'$ le successioni sono o convergenti o divergenti, possiamo scrivere $S' = C uu D$, dove $C$ è l'insieme delle successioni convergenti e $D$ quelle divergenti.
E' chiaro che:
a) Se $a in C$ e $b <= a$ allora $b in C$.
b) Se $a in D$ e $b >= a$ allora $b in D$.
La domanda alla fine di tutto questo discorso è: ha senso cercare $"sup" C$ e $"inf" D$? Se sì, chi sono? [Il ragionamento strano
alla base di questa domanda è quello di andare a capire "in che punto" c'è il passaggio tra successione convergente e successione divergente, in senso lato "l'ultima" successione convergente e "la prima" successione divergente].Spero di non aver scritto troppe corbellerie...
Risposte
I ragionamenti mi sembrano corretti (anche se, in alcuni punti spenderei due paroline in più: ad esempio quando affermi che i limiti dei rapporti di due successioni in $S$ esistono sempre la verifica è immediata nei casi seguenti [tex]$\frac{a}{b},\ \frac{+\infty}{b},\ \frac{0}{b},\ \frac{a}{+\infty},\ \frac{a}{0}$[/tex] ma andrebbero investigati i casi delle forme indeterminate [tex]$\frac{\infty}{\infty},\ \frac{0}{0}$[/tex]).
Per quanto riguarda la tua domanda, ricorda che su $S'$ hai costruito delle classi di equivalenza tramite la relazione [tex]$\rho$[/tex]: questo vuol dire che tutte le successioni che tendo ad un numero $a$ fissato avranno un rappresentante e, allo stesso modo, anche tutte quelle che tendono ad infinito. Allora ti devi chiedere la cosa seguente: le successioni divergenti tendono tutte ad infinito nello stesso modo? Se la risposta è no, quali sono le "successioni" che puoi prendere come rappresentanti delle varie classi di successioni divergenti? Una volta fatto questo, ragiona su come tali "rappresentanti" vengano ordinati dalla relazione $\leq$ e deducine l'esistenza (o meno) dei sup e inf che cerchi.
Per quanto riguarda la tua domanda, ricorda che su $S'$ hai costruito delle classi di equivalenza tramite la relazione [tex]$\rho$[/tex]: questo vuol dire che tutte le successioni che tendo ad un numero $a$ fissato avranno un rappresentante e, allo stesso modo, anche tutte quelle che tendono ad infinito. Allora ti devi chiedere la cosa seguente: le successioni divergenti tendono tutte ad infinito nello stesso modo? Se la risposta è no, quali sono le "successioni" che puoi prendere come rappresentanti delle varie classi di successioni divergenti? Una volta fatto questo, ragiona su come tali "rappresentanti" vengano ordinati dalla relazione $\leq$ e deducine l'esistenza (o meno) dei sup e inf che cerchi.
"gygabyte017":
[...] consideriamo l'insieme $S = { a=(a_n)_{n in NN} " tale che " AA n in NN, a_n >=0, " e tale che " EE lim_{n->+oo} a_n " (eventualmente"+oo") "}$, cioè l'insieme delle successioni reali non negative che non siano indeterminate (quindi o convergenti o divergenti).
[...] allora $AA a,b in S$, $lim_{n->+oo} (a_n)/(b_n) in [0,+oo]$ (non sono veramente sicuro che questo limite esista sempre ma credo proprio di sì, altrimenti correggetemi grazie).
Non è vero che \(\lim_n \frac{a_n}{b_n}\) esiste per ogni \(a,b\in S\).
Per rendersene conto basta prendere \(b=(b_n)\) con:
\[b_n:=\begin{cases} \tfrac{1}{n} &\text{, se } n \text{ è pari} \\ 0 &\text{, altrimenti.}\end{cases}\]
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