Curiosità sulle serie di Fourier
Ciao a tutti!
Affrontando degli esercizi sulle serie di Fourier mi sono sorti alcuni dubbi riguardo le funzioni che sono già trigonometriche.
Mi spiego meglio con un esempio: prendiamo la funzione \(g(x)=cos(2x)+e^{|x|}\) per \(x\in[-\pi,\pi]\); per trovare i coefficienti della sua serie di Fourier \(a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}{a_kcos(kx)+b_ksin(kx)}\) devo risolvere i tre integrali
\(a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)dx}\)
\(a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)cos(kx)dx}\)
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)sin(kx)dx}\)
In realtà è sufficiente svolgere i primi due perché il terzo è nullo, essendo la g una funzione pari; tuttavia il secondo risulta essere piuttosto complesso dovendo integrare \(cos(2x)cos(kx)\).
Esiste un modo per aggirare l'ostacolo "inglobando" nell'espressione della serie il termine \(cos(2x)\) e riducendosi così a integrare solo i termini con \(e^{|x|}\)?
Forse la risposta è banale, ma non ho ma visto queste cose in maniera approfondita.
Grazie a chi mi risponderà.
Affrontando degli esercizi sulle serie di Fourier mi sono sorti alcuni dubbi riguardo le funzioni che sono già trigonometriche.
Mi spiego meglio con un esempio: prendiamo la funzione \(g(x)=cos(2x)+e^{|x|}\) per \(x\in[-\pi,\pi]\); per trovare i coefficienti della sua serie di Fourier \(a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}{a_kcos(kx)+b_ksin(kx)}\) devo risolvere i tre integrali
\(a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)dx}\)
\(a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)cos(kx)dx}\)
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)sin(kx)dx}\)
In realtà è sufficiente svolgere i primi due perché il terzo è nullo, essendo la g una funzione pari; tuttavia il secondo risulta essere piuttosto complesso dovendo integrare \(cos(2x)cos(kx)\).
Esiste un modo per aggirare l'ostacolo "inglobando" nell'espressione della serie il termine \(cos(2x)\) e riducendosi così a integrare solo i termini con \(e^{|x|}\)?
Forse la risposta è banale, ma non ho ma visto queste cose in maniera approfondita.
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
una serie di Fourier è di questa forma $ a_0/2+\sum_(n=1)^(+\infty) a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) $
cioè in pratica il termine $a_0$ va diviso per 2
poi, la nostra prof a lezione ci aveva fatto vedere questi risultati
$ \int_(0)^(2\pi)\cos(hx)\cos(kx)dx={ ( 0 if h\ne k ),( \pi if h=k>0 ):} $
$ \int_(0)^(2\pi)\sin(hx)\cos(kx)dx=0 $
$ \int_(0)^(2\pi)\sin(hx)\sin(kx)dx={ ( 0 if h\ne k ),( \pi if h=k>0 ):} $
cioè in pratica il termine $a_0$ va diviso per 2
poi, la nostra prof a lezione ci aveva fatto vedere questi risultati
$ \int_(0)^(2\pi)\cos(hx)\cos(kx)dx={ ( 0 if h\ne k ),( \pi if h=k>0 ):} $
$ \int_(0)^(2\pi)\sin(hx)\cos(kx)dx=0 $
$ \int_(0)^(2\pi)\sin(hx)\sin(kx)dx={ ( 0 if h\ne k ),( \pi if h=k>0 ):} $
Grazie, utilissimo!! Puoi accennarmi una dimostrazione o indicarmi dove posso trovarla?
$cos x cos (kx) = 1/2 (cos(x(1+k))+cos(x(1-k)))$
Integrare da $-pi$ a $pi$
Tu che hai il ritratto di Eulero come avatar, dovresti conoscerle come le tue tasche queste cose.
(Scherzo, tra l'altro abitiamo a una manciata di kilometri)
Integrare da $-pi$ a $pi$
Tu che hai il ritratto di Eulero come avatar, dovresti conoscerle come le tue tasche queste cose.
(Scherzo, tra l'altro abitiamo a una manciata di kilometri)
Caspita che imbarazzo, bastava pensarci con un po' più di calma! 
Comunque grazie!!!!
Comunque grazie!!!!
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