Curiosità sulla funzione integrale
ciao a tutti,
se consideriamo un integrale con "la variabile (x) in un estremo", otteniamo di fatto la funzione integrale:
[tex]F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t) dt[/tex]
quando consideriamo la funzione integrale, cambiamo il nome della variabile di integrazione; in genere da x a t, proprio come ho appena scritto. il motivo è che guardiamo alla funzione integranda come un oggetto "fissato", quasi "secondario".
ma mi chiedevo... ha un qualche significato l'oggetto:
[tex]\int_{x_0}^{x} f(x) dx[/tex]
dove la variabile x appare sia in un estremo di integrazione, sia come variabile di integrazione?
edit:
se penso all'integrale come un funzionale lineare, per me non ha alcun significato l'ultimo oggetto che ho scritto. non essendo tuttavia una summa sull'integrale... chiedo a voi
se consideriamo un integrale con "la variabile (x) in un estremo", otteniamo di fatto la funzione integrale:
[tex]F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t) dt[/tex]
quando consideriamo la funzione integrale, cambiamo il nome della variabile di integrazione; in genere da x a t, proprio come ho appena scritto. il motivo è che guardiamo alla funzione integranda come un oggetto "fissato", quasi "secondario".
ma mi chiedevo... ha un qualche significato l'oggetto:
[tex]\int_{x_0}^{x} f(x) dx[/tex]
dove la variabile x appare sia in un estremo di integrazione, sia come variabile di integrazione?
edit:
se penso all'integrale come un funzionale lineare, per me non ha alcun significato l'ultimo oggetto che ho scritto. non essendo tuttavia una summa sull'integrale... chiedo a voi
Risposte
Credo che non cambi il suo significato, anche perchè $x$ è variabile muta, quindi basta solo che fai attenzione nei passaggi di eventuale integrazione o derivazione. E' solo per distinguerle che si usano due lettere diverse.
non ha un significato -senza offesa- più profondo?
nel senso che l'integrale può anche essere visto come un operatore lineare [tex]L[x] = \int_a^b f[x]d[x][/tex]
la funzione integrale a sua volta: [tex]L[x] = \int_a^{[x]} f(t)dt[/tex]
mentre quel che ho scritto io darebbe:
[tex]L[x] = \int_a^{[x]} f[x]d[x][/tex]
credo di non aver reso l'idea...
comunque secondo quanto dici allora non dovrebbe essere un errore scrivere la funzione integrale in quel modo. ma a me è sempre stato ricordato il fatto che quella scrittura è proprio "errata".
volevo capire in che termini "errata" quindi. cioè se è una scrittura proprio non significativa tipo [tex]\sum(\nabla)[/tex] o magari ha un significato intrinseco che solo i chi vive di pane e matematica da decenni sa ^^
nel senso che l'integrale può anche essere visto come un operatore lineare [tex]L[x] = \int_a^b f[x]d[x][/tex]
la funzione integrale a sua volta: [tex]L[x] = \int_a^{[x]} f(t)dt[/tex]
mentre quel che ho scritto io darebbe:
[tex]L[x] = \int_a^{[x]} f[x]d[x][/tex]
credo di non aver reso l'idea...
comunque secondo quanto dici allora non dovrebbe essere un errore scrivere la funzione integrale in quel modo. ma a me è sempre stato ricordato il fatto che quella scrittura è proprio "errata".
volevo capire in che termini "errata" quindi. cioè se è una scrittura proprio non significativa tipo [tex]\sum(\nabla)[/tex] o magari ha un significato intrinseco che solo i chi vive di pane e matematica da decenni sa ^^
Premetto che vado solo con le mie intuizioni (è una domanda che a suo tempo mi feci anch'io).
E' lo stesso di quello che fai nelle sostituzioni di variabile.
Di solito si scrive ad es:
$\sqrt{1-x^2}$
$x = sen \theta$
$\sqrt{1-sen^2 \theta} = cos \theta$
Potresti anche fare
$\sqrt{1-x^2}$
$x = sen x$ !!!
$\sqrt{1-sen^2 x} = cos x$
cioè fai un cambio di variabile, ma continui ad usare lo stesso simbolo grafico x.
E' chiaro che questo può portare a molta confusione, poi di per se non vedo che sia errato.
E' lo stesso di quello che fai nelle sostituzioni di variabile.
Di solito si scrive ad es:
$\sqrt{1-x^2}$
$x = sen \theta$
$\sqrt{1-sen^2 \theta} = cos \theta$
Potresti anche fare
$\sqrt{1-x^2}$
$x = sen x$ !!!
$\sqrt{1-sen^2 x} = cos x$
cioè fai un cambio di variabile, ma continui ad usare lo stesso simbolo grafico x.
E' chiaro che questo può portare a molta confusione, poi di per se non vedo che sia errato.
ma in quel caso c'è un "errore" anche logico se vuoi. nel senso che con [tex]x = sin x[/tex] stai dicendo che x è uguale al suo seno.
mentre scrivere [tex]x = sin t[/tex] significa semplicemente dire che "pensiamo ad x come al seno di un'altra variabile t"; e cioè "esiste una variabile t, il cui seno è uguale proprio a x".
questo per dire dunque, che io, almeno nel caso da te proposto, vedo proprio un errore logico.
mentre nello scrivere la funzione integrale in quel modo io non trovo un errore logico. scrivere la funzione integrale in quel modo porta a QUALE errore logico? e ancora prima di chiedermi questo: quella scrittura CONTIENE un errore logico?
mentre scrivere [tex]x = sin t[/tex] significa semplicemente dire che "pensiamo ad x come al seno di un'altra variabile t"; e cioè "esiste una variabile t, il cui seno è uguale proprio a x".
questo per dire dunque, che io, almeno nel caso da te proposto, vedo proprio un errore logico.
mentre nello scrivere la funzione integrale in quel modo io non trovo un errore logico. scrivere la funzione integrale in quel modo porta a QUALE errore logico? e ancora prima di chiedermi questo: quella scrittura CONTIENE un errore logico?
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