Curiosità sulla densità dei polinomi in $L^2$
Leggendo un pò ovunque (Rudin W., Wikipedia, Kolmogorov-Fomin, Negro A.) ho questi risultati:
I) l'insieme dei polinomi [tex]$\mathcal{P}(I)$[/tex] su un intervallo chiuso e limitato [tex]$I$[/tex] è denso in [tex]$(C^0(I);||\cdot||_{\infty})$[/tex] (teorema di Bernstein-Weierstrass),
II) l'insieme [tex]$(C^0(I);||\cdot||_{\infty})$[/tex], con [tex]$I$[/tex] intervallo chiuso e limitato è denso in [tex]$L^p(I;\mu)$[/tex], con [tex]$p\in[1;+\infty)$[/tex] e [tex]$\mu$[/tex] misura di Lebesgue (tanto per completezza: tale è il caso che m'interessa di un teorema più generale);
III) l'insieme dei polinomi [tex]$\mathcal{P}(I)$[/tex] su un intervallo chiuso e limitato [tex]$I$[/tex] è denso in [tex]$L^2(I;\mu)$[/tex], con [tex]$\mu$[/tex] misura di Lebesgue,
la mia curiosità è: dai punti (I&II) non ottengo che il punto (III) vale anche per [tex]$p\in[1;+\infty)$[/tex]?
Se no, mi si potrebbe indicare qualche esempio o riferimento su cui studiare?!
Grazie. Armando
I) l'insieme dei polinomi [tex]$\mathcal{P}(I)$[/tex] su un intervallo chiuso e limitato [tex]$I$[/tex] è denso in [tex]$(C^0(I);||\cdot||_{\infty})$[/tex] (teorema di Bernstein-Weierstrass),
II) l'insieme [tex]$(C^0(I);||\cdot||_{\infty})$[/tex], con [tex]$I$[/tex] intervallo chiuso e limitato è denso in [tex]$L^p(I;\mu)$[/tex], con [tex]$p\in[1;+\infty)$[/tex] e [tex]$\mu$[/tex] misura di Lebesgue (tanto per completezza: tale è il caso che m'interessa di un teorema più generale);
III) l'insieme dei polinomi [tex]$\mathcal{P}(I)$[/tex] su un intervallo chiuso e limitato [tex]$I$[/tex] è denso in [tex]$L^2(I;\mu)$[/tex], con [tex]$\mu$[/tex] misura di Lebesgue,
la mia curiosità è: dai punti (I&II) non ottengo che il punto (III) vale anche per [tex]$p\in[1;+\infty)$[/tex]?
Se no, mi si potrebbe indicare qualche esempio o riferimento su cui studiare?!
Grazie. Armando
Risposte
Leggendo un po' ovunque... Kolmogorov, Rudin, Negro:lol:
Vabbé, a parte le battute. Hai ragione: se $I$ è un intervallo limitato e $1\le p < \infty$ allora lo spazio delle funzioni polinomiali su $I$ è denso in $L^p(I)$. La dimostrazione è quella che hai indicato tu.
Con $p=infty$ invece il risultato fallisce. E certo, perché se fosse vero, avremmo ogni funzione $L^infty(I)$ come limite uniforme di una successione di polinomi. E quindi ogni funzione $L^infty(I)$ sarebbe continua, il che mi pare un po' forte a dire poco.
La prossima volta che citerò il cognome Negro tra la bibliografia ti dedicherò una nota Giuseppe! 
[Scusami, ma me lo hai tirato dalla bocca e dalle mani! 
]
Tornando alla mia curiosità (che ora non capisco perché non venga manco messa a piè di pagina come una nota marginale), in effetti i polinomi non possono essere densi in [tex]$L^{\infty}(I)$[/tex] per quello che hai scritto.
Non mi sento abbastanza sciolto con questi spazi [tex]$L^p$[/tex], ecco perché ho domandato qui!
Eppure non sento la terra mancarmi sotto i piedi... chissà che cosa mi ha preso 
Grazie!
[Scusami, ma me lo hai tirato dalla bocca e dalle mani! ]Tornando alla mia curiosità (che ora non capisco perché non venga manco messa a piè di pagina come una nota marginale), in effetti i polinomi non possono essere densi in [tex]$L^{\infty}(I)$[/tex] per quello che hai scritto.
Non mi sento abbastanza sciolto con questi spazi [tex]$L^p$[/tex], ecco perché ho domandato qui!
Eppure non sento la terra mancarmi sotto i piedi... chissà che cosa mi ha preso Grazie!
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