Curiosità sul teorema di Bolzano
Ciao a tutti ragazzi !
Stavo ripetendo un pò la dimostrazione del teorema di Bolzano per bisezione e mi ha incuriosito un aspetto, tenendo d'occhio la completezza di |R e la possibile definizione dei numeri non razionali mediante il concetto di limite di una successione convergente, dal momento che la bisezione (considero solo il caso non becchi l'elemento sul valor medio di ogni intervallo), costruisce una successioni di intervalli chiusi, dunque due successioni convergenti ad un elemento dell'insieme di definito da ipotesi contenuto in |R.. Si può concludere che uno zero della funzione così determinato sia sicuramente non razionale ?
Ahahah perdonatemi se magari sto sparando cazzate, sono ancora un novellino e per giunta neanche troppo sveglio
, ma sono molto incuriosito dall'argomento ultimamente!
Stavo ripetendo un pò la dimostrazione del teorema di Bolzano per bisezione e mi ha incuriosito un aspetto, tenendo d'occhio la completezza di |R e la possibile definizione dei numeri non razionali mediante il concetto di limite di una successione convergente, dal momento che la bisezione (considero solo il caso non becchi l'elemento sul valor medio di ogni intervallo), costruisce una successioni di intervalli chiusi, dunque due successioni convergenti ad un elemento dell'insieme di definito da ipotesi contenuto in |R.. Si può concludere che uno zero della funzione così determinato sia sicuramente non razionale ?
Ahahah perdonatemi se magari sto sparando cazzate, sono ancora un novellino e per giunta neanche troppo sveglio
, ma sono molto incuriosito dall'argomento ultimamente!
Risposte
Con "bisezione" intendi il metodo numerico per approssimare le soluzioni di equazioni?
Dai un occhio alla seconda dimostrazione Diss http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano !
(Ad ogni modo è lo stesso approccio del metodo numerico, sì
)
(Ad ogni modo è lo stesso approccio del metodo numerico, sì
)
"FrederichN.":
Ciao a tutti ragazzi !
...dal momento che la bisezione (considero solo il caso non becchi l'elemento sul valor medio di ogni intervallo), costruisce una successioni di intervalli chiusi, dunque due successioni convergenti ad un elemento dell'insieme di definito da ipotesi contenuto in |R.. Si può concludere che uno zero della funzione così determinato sia sicuramente non razionale?
Se così fosse si potrebbe assiomatizzare |R a(escludendo Dedekind o Completezza di uno spazio metrico) partendo dai risultati di questo teorema?
Non ho capito perchè a tuo avviso dovebbe essere necessariamente non razionale. Assiomatizzare R che vuol dire?
Vuoi dire costruire R a partire da quel teorema? Ma quel teorema parla di funzione a valori *reali*, quindi già ne da per scontata l'esistenza.
Questa funzione dovrebbe avere quindi a valori solo in $Q$ e dove dovrebbero convergere le successioni del teorema? non ti seguo.
In un certo senso si, pensavo, magari partendo da estremi razionali e costruendo una successione di intervalli chiusi, limitati ed inscatolati tutti quindi ad estremi razionali se non riesco a trovare un elemento medio (ancora razionale) di uno di questi la cui immagine sia 0, sarò costretto a definire una successione convergente ad un elemento non appartenente all'intersezione del dominio con Q, quindi non razionale. 
Circa 'assiomatizzare' sono stato impreciso ed azzardato.
Poi probabilmente sto facendo delle illazioni assurde, compatitemi ! Ho un'esperienza ancora troppo giovane!
Circa 'assiomatizzare' sono stato impreciso ed azzardato.
Poi probabilmente sto facendo delle illazioni assurde, compatitemi
! Ho un'esperienza ancora troppo giovane!
Ti faccio notare che partendo da estremi razionali, con una funzione a valori razionali, il valor medio di cui parla il teorema è per forza razionale, in ogni caso adesso non riesco a ragionarci bene data l'ora, comunque ad una definizione che sfrutta successioni di razionali già ci ha pensato Cantor. La completezza se escldudi i reali non puoi proprio assumerla, non hai necessità di escluderla, perchè un successione di cauchy di razionali, può benissimo non convergere se escludi i reali. Cantor infatti parla di differenza di successioni di razionali, la quale può convergere a zero o no, e definsce quindi una relazione che si dimostra essere di equivalenza, da cui i reali come classe di equivalenza.... Insomma non credo ci stiamo inventando qualcosa di nuovo.
Una funzione definita su in intervallo reale che ha valori solo nei razionali? deve essere veramente brutta se non è costante....
"Luca.Lussardi":
Una funzione definita su in intervallo reale che ha valori solo nei razionali? deve essere veramente brutta se non è costante....
Lacunosa.
"FrederichN.":
Poi probabilmente sto facendo delle illazioni assurde, compatitemi
Non credo siano illazioni assurde, nel senso che denotano la volontà di approfondire, di collegare, investigare, io sinceramente preferisco le tue illazioni ai soliti problemi, che il più delle volte chi li propone non li risolve perchè, a differenza di te, le dimostrazioni dei teoremi non le ha proprio nemmeno lette.
Ti ringrazio regim, mi lusinghi!
Luca, consideriamo una funzioni a valori reali (non valori razionali) con estremi razionali, riformula la domanda: usando la bisezione, se non riesco a beccare lo zero della funzione mediante la verifica di un infinità numerabile di valori medi, posso dedurre che lo zero della funzione sia non razionale?
A colpirmi è stata la decisa somiglianza tra un ragionamento di questo tipo (bisezione, successione di intervalli chiusi convergente) e l'aver letto sul Giusti di secondo modello di |R costruito partendo dalla completezza dello stesso (definendo quindi i numeri non razionali come limiti di successioni convergenti).
Luca, consideriamo una funzioni a valori reali (non valori razionali) con estremi razionali, riformula la domanda: usando la bisezione, se non riesco a beccare lo zero della funzione mediante la verifica di un infinità numerabile di valori medi, posso dedurre che lo zero della funzione sia non razionale?
A colpirmi è stata la decisa somiglianza tra un ragionamento di questo tipo (bisezione, successione di intervalli chiusi convergente) e l'aver letto sul Giusti di secondo modello di |R costruito partendo dalla completezza dello stesso (definendo quindi i numeri non razionali come limiti di successioni convergenti).
Quello che è certo è che se hai lo zero irrazionale e parti da estremi razionali l'iterazione non si arresta mai.
Invece mi pare che ci siano funzioni che hanno zeri razionali, ma se parti da estremi fatti male, pur se razionali, potresti iterare all'infinito: ad esempio mi sembra che se usi la bisezione sulla funzione $y=x$ partendo da $[-1,2]$ non cadrai mai in $0$ con un numero finito di passi.
Invece mi pare che ci siano funzioni che hanno zeri razionali, ma se parti da estremi fatti male, pur se razionali, potresti iterare all'infinito: ad esempio mi sembra che se usi la bisezione sulla funzione $y=x$ partendo da $[-1,2]$ non cadrai mai in $0$ con un numero finito di passi.
Ecco, il secondo passaggio era quello che volevo sapere, ti ringrazio .
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