Curiosità sul differenziale
Salve a tutti ragazzi, ho una curiosità che mi porto dietro dal 1 anno di Università 
Quando il mio vecchio professore di analisi 1 ci introdusse le equazioni differneziali con il metodo delle variabili separabili, ci specificò che noi effettuavamo un'operazione matematicamente illecita, considerando la derivata come una semplice frazione.
Al tempo, non è che mi interessasse molto il motivo, quindi accettai la cosa senza farmi domande.
Ora arrivato al 3 anno di Ingegneria, mi sono accorto che questo "trattare il dx/dy come una frazione" viene usato tranquillamente senza ipotesi alcuna e per vere e proprie dimostrazioni.
Al tempo mi ricordo che il professore ci disse, che si questo metodo era illecito, ma portava allo stesso risultato di non considerarlo come frazione.
Non a caso riportava spesso a galla la diatriba tra fisici e matematici, affermando che mentre il matematico ci metteva molto più tempo a raggiungere lo stesso risultato, il fisico un po' alla "cazzum" e senza nessun rigore matematico, arrivava ad una conclusione del tutto uguale.
Ora alla luce di questo, sicuramente voi ne saprete molto più di me; potreste specificarmi perché questo viene fatto? Perché si giunge alla stessa conclusione utilizzando una disgrazia matematica simile? In che condizioni questo può essere fatto? Nello studio che avrò in futuro, tenendo conto che studio ingegneria, risentirò mai di questa approssimazione? In caso negativo perché?
Quando il mio vecchio professore di analisi 1 ci introdusse le equazioni differneziali con il metodo delle variabili separabili, ci specificò che noi effettuavamo un'operazione matematicamente illecita, considerando la derivata come una semplice frazione.
Al tempo, non è che mi interessasse molto il motivo, quindi accettai la cosa senza farmi domande.
Ora arrivato al 3 anno di Ingegneria, mi sono accorto che questo "trattare il dx/dy come una frazione" viene usato tranquillamente senza ipotesi alcuna e per vere e proprie dimostrazioni.
Al tempo mi ricordo che il professore ci disse, che si questo metodo era illecito, ma portava allo stesso risultato di non considerarlo come frazione.
Non a caso riportava spesso a galla la diatriba tra fisici e matematici, affermando che mentre il matematico ci metteva molto più tempo a raggiungere lo stesso risultato, il fisico un po' alla "cazzum" e senza nessun rigore matematico, arrivava ad una conclusione del tutto uguale.
Ora alla luce di questo, sicuramente voi ne saprete molto più di me; potreste specificarmi perché questo viene fatto? Perché si giunge alla stessa conclusione utilizzando una disgrazia matematica simile? In che condizioni questo può essere fatto? Nello studio che avrò in futuro, tenendo conto che studio ingegneria, risentirò mai di questa approssimazione? In caso negativo perché?
Risposte
Butta un occhio qui:
simbolo-dx-negli-integrali-t88507.html
É stato uno degli argomenti più dibattuti su questo forum. Buona lettura
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Il differenziale di una funzione è una funzione $df: RR->RR | Deltax -> f'(x_0)Deltax$
Quindi $df=f'(x_0)Deltax$
Geometricamente $df$ non è altro che l'incremento di una funzione misurato sulla retta tangente in $x_0$ piuttosto che sulla funzione, pertanto il differenziale di $f(x)=x$ è uguale $Deltax$, essendo la derivata di $x$ uguale a $1$ risulta $dx=Deltax$ e quindi:
$df=f'(x_0)dx$
Da cui:
$f'(x_0)=(df)/dx$
Quindi $df=f'(x_0)Deltax$
Geometricamente $df$ non è altro che l'incremento di una funzione misurato sulla retta tangente in $x_0$ piuttosto che sulla funzione, pertanto il differenziale di $f(x)=x$ è uguale $Deltax$, essendo la derivata di $x$ uguale a $1$ risulta $dx=Deltax$ e quindi:
$df=f'(x_0)dx$
Da cui:
$f'(x_0)=(df)/dx$
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