Curiosità sui moltiplicatori di Lagrange..!...!...
Salve a tutti...
sto praticamente impazzendo riguardo una cosa che proprio non riesco a comprendere..
nella ricerca di massimi e minimi in funzioni vincolate si usa il metodo di lagrange che richiede la funzione lagrangiana formata dalla somma della funzione originaria e $l(g(x,y)-c)$ con "l" moltiplicatore di lagrange.
Facendo parecchi esercizi ho notato che ovviamente se ho una funzione $g$ in forma esplicita per esempio $y=3x^2-4x-1$ per implicitarla posso portare sia il secondo membro a sinistra sia viceversa. Questo ovviamente cambia il segno dei coefficienti dell' equazione ma non varia comunque il senso della stessa.
Certo è però che $g(x,y)!=-g(x,y)$ ed il segno di questa funzione all' interno della lagrangiana ne varia completamente il senso....
Sono quasi sicuro che l' errore deriva da una mia lacuna ma vorrei capire di cosa si tratta!
Grazie ancora!
sto praticamente impazzendo riguardo una cosa che proprio non riesco a comprendere..
nella ricerca di massimi e minimi in funzioni vincolate si usa il metodo di lagrange che richiede la funzione lagrangiana formata dalla somma della funzione originaria e $l(g(x,y)-c)$ con "l" moltiplicatore di lagrange.
Facendo parecchi esercizi ho notato che ovviamente se ho una funzione $g$ in forma esplicita per esempio $y=3x^2-4x-1$ per implicitarla posso portare sia il secondo membro a sinistra sia viceversa. Questo ovviamente cambia il segno dei coefficienti dell' equazione ma non varia comunque il senso della stessa.
Certo è però che $g(x,y)!=-g(x,y)$ ed il segno di questa funzione all' interno della lagrangiana ne varia completamente il senso....
Sono quasi sicuro che l' errore deriva da una mia lacuna ma vorrei capire di cosa si tratta!
Grazie ancora!
Risposte
non so se ho capito la domanda, per prima cosa comunque stai attento che $y = 3x^2-4x-1$ è funzione di una variabile, ma quando porti tutto a destra (o sinistra che sia), ottieni una curva di livello di una funzione di 2 variabili. in altre parole, $f(x) = 3x^2-4x-1$ è una funzione, che in forma implicita diventa $g(x,y) = 0$, dove si definisce $g(x,y) := 3x^2-4x-1 - y$. questo ti deve essere chiaro dal teorema di dini.
adesso non mi ricordo la lagrangiana, perchè uso sempre direttamente i moltiplicatori di lagrange per trovare i punti critici. certo è che se $g=0$ è il vincolo, e devi trovare gli estremi vincolati di una funzione h(x,y), sai che $grad h = sum_i lambda_i grad g_i$, cioè a parole il gradiente di h è una combinazione lineare dei gradienti di g=(g_1, g_2,..., g_n), ovvero sta nello spazio da questi generato (in questo caso specifico g ha una sola componente).
ad ogni modo non è vero che ne cambia "completamente" il senso, alla fine ti ritroverai solo col segno del moltiplicatore invertito, ma d'altra parte non c'è da stupirsi perchè g è l'opposto di -g, e di conseguenza il gradiente
adesso non mi ricordo la lagrangiana, perchè uso sempre direttamente i moltiplicatori di lagrange per trovare i punti critici. certo è che se $g=0$ è il vincolo, e devi trovare gli estremi vincolati di una funzione h(x,y), sai che $grad h = sum_i lambda_i grad g_i$, cioè a parole il gradiente di h è una combinazione lineare dei gradienti di g=(g_1, g_2,..., g_n), ovvero sta nello spazio da questi generato (in questo caso specifico g ha una sola componente).
ad ogni modo non è vero che ne cambia "completamente" il senso, alla fine ti ritroverai solo col segno del moltiplicatore invertito, ma d'altra parte non c'è da stupirsi perchè g è l'opposto di -g, e di conseguenza il gradiente
ok tutto bene ma quando dici che mi deve essere chiaro dal teorema del dini cosa intendi?
perchè $g(x,y)=3x^2-4x-1-y$ e non $g(x,y)=y-3x^2+4x+1$ ????
Questo non capisco!
perchè $g(x,y)=3x^2-4x-1-y$ e non $g(x,y)=y-3x^2+4x+1$ ????
Questo non capisco!
puoi prendere quella che vuoi, non capisco che problema ti fai. dal teorema di dini ti deve essere chiaro cosa si intenda per funzione implicita, perchè da quello che hai scritto mi pareva ci fosse un po' di confusione a riguardo.
non posso prendere quella che voglio perchè mi stravolge il risultato
io ho una funzione $f(x)=xy$. Ora per creare la funzione lagrangiana devo fare $f(x)+l(g(x,y))=xy+l(3x^2-4x-1-y)$
Poi bisogna fare tutto il procedimento successivo
Il problema che i punti critici che trovo con quella lagrangiana sono diversi da quelli che trovo con $xy+l(-3x^2+4x+1+y)$
L' ho fatto anche con derive non credo di aver sbagliato i calcoli...come è possibile?
io ho una funzione $f(x)=xy$. Ora per creare la funzione lagrangiana devo fare $f(x)+l(g(x,y))=xy+l(3x^2-4x-1-y)$
Poi bisogna fare tutto il procedimento successivo
Il problema che i punti critici che trovo con quella lagrangiana sono diversi da quelli che trovo con $xy+l(-3x^2+4x+1+y)$
L' ho fatto anche con derive non credo di aver sbagliato i calcoli...come è possibile?
mi pare molto strano, prova a postare i calcoli.
d'altra parte hai un sistema del tipo:
$ partial_x f = lambda partial_x g
$ partial_y f = lambda partial_y g
$ g = 0
mentre se prendi -g avresti:
$ partial_x f = -mu partial_x g
$ partial_y f = -mu partial_y g
$ -g = 0 <=> g = 0
quindi è evidente che deve essere $-mu = lambda$
d'altra parte hai un sistema del tipo:
$ partial_x f = lambda partial_x g
$ partial_y f = lambda partial_y g
$ g = 0
mentre se prendi -g avresti:
$ partial_x f = -mu partial_x g
$ partial_y f = -mu partial_y g
$ -g = 0 <=> g = 0
quindi è evidente che deve essere $-mu = lambda$
il sistema si fa con la lagrangiana...quindi $L_x=y+6lx-4)$
con la seconda lagrangiana invece... $L_x=y-6lx+4$
procedendo così io mi trovo due sistemi diversi che hanno soluzioni diverse....non saprei capire dove sbaglio però anche io credo come te che dovrebbero venirmi uguali ma non è così...non so...
con la seconda lagrangiana invece... $L_x=y-6lx+4$
procedendo così io mi trovo due sistemi diversi che hanno soluzioni diverse....non saprei capire dove sbaglio però anche io credo come te che dovrebbero venirmi uguali ma non è così...non so...
E' esattamente quello che ti ha detto enr87.
Prova a usare $m$ invece di $l$ in una delle due formulazioni e vedrai che trovi esattamente quanto afferma enr87.
E, soprattutto, non dimenticarti una "$l$" per strada, come hai fatto! Le tue derivate sono sbagliate. E' per questo che non ti torna.
Prova a usare $m$ invece di $l$ in una delle due formulazioni e vedrai che trovi esattamente quanto afferma enr87.
E, soprattutto, non dimenticarti una "$l$" per strada, come hai fatto! Le tue derivate sono sbagliate. E' per questo che non ti torna.
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