Curiosità su residuo di una funzione

[Feliciano1]

mi siete stati molto d'aiuto nel preparare questo mio esame di analisi riguardo teorema di cauchy e distribuzioni. Adesso vorrei chiedervi, giusto a titolo di curiosità (e anche per fare una piccola introduzione discorsiva nel caso dovrei parlarne durante l'esame, che cos'è il residuo di una funzione? Cioè perchè la quantità $1/(2.pij)int(f(z)dz)$ lo chiamiamo proprio residuo?
Grazie

[dissonance]

Secondo me, perché quando hai una funzione sviluppata in serie di Laurent come
$...c_{-n}/z^n+...+c_{-1}/z+c_0+c_1z+c_2z^2+...$ e ne calcoli l'integrale lungo un circuito, ogni addendo diverso da $c_{-1}/z$ non produce contributo ($int_gammac_mz^m"d"z=0$ per ogni $m$ intero diverso da $-1$). Quindi $c_{-1}$ è "quello che resta". Infatti per come mi è stato insegnato il teorema dei residui, il residuo si definisce proprio come $c_{-1}$.
(Non so come tu abbia dimostrato questo teorema - l'osservazione di sopra è una via).

Questa è la giustificazione che mi sono dato io, però. Vediamo che ne pensano gli esperti veri.

[Feliciano1]

si mi sembra convincente come approccio. Solo che io il teorema dei residui lo dimostro diversamente. Quindi se faccio l'osservazione che dici tu poi non saprei giustificare

(∫γcmzmdz=0 per ogni m intero diverso da -1)

Quindi se non c'è nessun altro motivo per cui chiamarlo residuo...come non detto

PS: grazie per la velocità nel risondere