Curiosità su e

[The_Mad_Hatter]

Salve a tutti,
Ho questa dannata curiosità:

Come potrei calcolare $lim_n (1+1/n)^n$ se non sapessi dell'esistenza di $e$?

EDIT: Ovviamente ignorando il metodo forza-bruta... voglio dire, intendo trovare il risultato esatto, non un'approssimazione!

[j18eos]

Mi ricordo nitidamente che il professore dimostrò a priori che tale limite esiste ed il limite lo chiamò [tex]$e$[/tex].

Volendo cercare di calcolarlo senza conoscere a priori la sua esistenza sarebbe un salto nel buio!

Potresti provare a sviluppare la potenza n-sima con la formula del binomio di Newton e passare al limite!?

[Camillo]

Si può anche dimostrare che il limite è compreso tra $2 $ e $3 $ e che la successione $(1+1/n)^n$ è crescente ma limitata.

[maurer]

Come si calcola la maggior parte dei limiti. Cioè con un algoritmo iterativo di approssimazione. Che poi è quello che devi fare anche sapendo dell'esistenza di [tex]e[/tex]. Ti faccio notare che è stato convenzionalmente scelto di chiamare [tex]\lim_n (1+\frac{1}{n})^n[/tex] con il simbolo [tex]e[/tex] solo perché è una costante che torna molto frequentemente e portarsi dietro il limite (o una qualsiasi altra definizione del numero di Nepero) risulta, per così dire, scomodo.

Ti riporto un passo dalla bellissima "Analisi Matematica" di Giovanni prodi

"Giovanni Prodi":
[...]Per capire l'importanza del criterio di Cauchy, riflettiamo un momento sul significato della frase "calcolare il limite di una funzione reale". Nell'uso corrente, questa frase significa cercare il limite in una certa classe (non ben precisata, del resto) di numeri "noti" (come 1/2, [tex]\sqrt{2}/\pi[/tex] ecc.).
Ebbene: è chiaro che solo eccezionalmente il limite che si cerca (se esiste) si potrà trovare in questo campionario: il più delle volte, nei procedimenti tipici dell'analisi, il risultato veramente interessante sarà quello di affermare l'esistenza del limite, senza poterlo rappresentare esplicitamente (si potrà, eventualmente, darne un'approssimazione decimale). Il criterio di Cauchy è allora lo strumento fondamentale per questa indagine [...]