[Curiosità] Funzioni non analitiche
Salve 
Oggi, riguardando un po' gli appunti ho notato una cosa a cui non avevo fatto molto caso prima, cioè la definizione di funzioni analitiche [cioè funzioni ottenute dalle funzioni elementari] e ho supposto che se ci fosse bisogno di dare una definizione e un nome a queste funzioni, allora ci sarebbero dovute essere anche funzioni non analitiche.
Le mie domande quindi sono:
1) Quali sono?
2) Come si ottengono?
3) Che utilizzo hanno? [Nel senso, vengono usate in campi specifici (come fisica, ingegneria, economia etc etc) oppure hanno solo un utilizzo puramente matematico (quindi per solo per dimostrare teoremi)?]
Sebbene una risposta completa e con tutto il linguaggio matematico che ne conviene sarebbe alquanto interessante, preferirei che, chiunque volesse rispondermi, mi facesse prima un sunto "terra terra" per farmi capire un po' di che si tratta e poi tutta la spiegazione rigorosa se ce ne sta una e se ne ha voglia.
Grazie in anticipo a tutti
Oggi, riguardando un po' gli appunti ho notato una cosa a cui non avevo fatto molto caso prima, cioè la definizione di funzioni analitiche [cioè funzioni ottenute dalle funzioni elementari] e ho supposto che se ci fosse bisogno di dare una definizione e un nome a queste funzioni, allora ci sarebbero dovute essere anche funzioni non analitiche.
Le mie domande quindi sono:
1) Quali sono?
2) Come si ottengono?
3) Che utilizzo hanno? [Nel senso, vengono usate in campi specifici (come fisica, ingegneria, economia etc etc) oppure hanno solo un utilizzo puramente matematico (quindi per solo per dimostrare teoremi)?]
Sebbene una risposta completa e con tutto il linguaggio matematico che ne conviene sarebbe alquanto interessante, preferirei che, chiunque volesse rispondermi, mi facesse prima un sunto "terra terra" per farmi capire un po' di che si tratta e poi tutta la spiegazione rigorosa se ce ne sta una e se ne ha voglia.
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Il termine funzione analitica è usato per denotare funzioni che hanno la proprietà di essere sviluppabili in serie di potenze intorno ad ogni punto del proprio insieme di definizione.
Le funzioni non analitiche sono quelle che non hanno tale proprietà.
Non confondere, poi, le funzioni analitiche con le funzioni elementari (delle quali si usa dire che "hanno un'espressione analitica", nel senso che si possono esprimere come combinazione di funzioni elementari di base).
Le funzioni non analitiche sono quelle che non hanno tale proprietà.
Non confondere, poi, le funzioni analitiche con le funzioni elementari (delle quali si usa dire che "hanno un'espressione analitica", nel senso che si possono esprimere come combinazione di funzioni elementari di base).
"gugo82":
Il termine funzione analitica è usato per denotare funzioni che hanno la proprietà di essere sviluppabili in serie di potenze intorno ad ogni punto del proprio insieme di definizione.
Le funzioni non analitiche sono quelle che non hanno tale proprietà.
Non confondere, poi, le funzioni analitiche con le funzioni elementari (delle quali si usa dire che "hanno un'espressione analitica", nel senso che si possono esprimere come combinazione di funzioni elementari di base).
Grazie della correzione
Allora cambio le domande un po' per renderle corrette:
1) Esistono funzioni non elementari che non siano una combinazioni delle stesse?
Se sì:
->1.a) Quali sono?
->1.b) Come si ottengono?
->1.c) Che utilizzo hanno?
Scusami se sono insistente, è che sono particolarmente curioso ma non abbastanza competente in matematica per una ricerca su wikipedia.
Esempi di funzioni non elementari ne esistono a bizzeffe e sono anche molto utili a fini pratici.
Esempio classico è la funzione \(N:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
N(x) := \int_0^x e^{-\frac{1}{2}\ t^2}\ \text{d} t
\]
che esprime la funzione di distribuzione della variabile casuale normale (o gaussiana , che dir si voglia) standard[nota]Cioè con media $\mu = 0$ e deviazione standard $\sigma =1$.[/nota]; l'integrale che vi figura non è calcolabile "a mano" (cioè con i metodi di integrazione che conosci) e si può dimostrare che esso non si può esprimere tramite una funzione elementare.[nota]Per un teorema dovuto essenzialmente a Liouville.[/nota]
Come sai, la variabile casuale normale si usa per descrivere, ad esempio, l'andamento degli errori di misura non sistematici.
Altro esempio è dato dalla funzione \(\operatorname{Si}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
\operatorname{Si} (x) := \int_0^x \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t
\]
che si chiama seno integrale. Il solito teorema di Liouville consente di stabilire che nemmeno la funzione \(\operatorname{Si}\) è una funzione elementare.
Questa funzione ha applicazioni in ottica, se non erro, e (unita ad un'altra funzione detta coseno integrale) risolve un'interessante problema di cinematica.
Oppure la funzione \(\Gamma : ]0, +\infty[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
\Gamma (x) := \int_0^{+\infty} t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t\; ,
\]
che è chiamata funzione gamma di Eulero, non è elementare (sempre come conseguenza di Liouville, immagino). La si ritrova un po' ovunque si debba aver a che fare coi fattoriali "generalizzati" (ad esempio, in Probabilità, ma anche nella teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali classiche).
Ancora, le funzioni di Bessel di prima specie, cioè le funzioni \(\operatorname{J}_\nu : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definite mediante lo sviluppo in serie:
\[
\operatorname{J}_\nu (x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\ \Gamma (n+1+\nu)}\ \left( \frac{x}{2} \right)^{2n+\nu}
\]
con $\nu \geq 0$, non sono elementari (se non in alcuni casi, ad esempio $\nu = 1/2$). Tali funzioni servono per descrivere, ad esempio, le vibrazioni armoniche di membrane percosse (perché sono soluzioni di particolari equazioni differenziali).
Esempio classico è la funzione \(N:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
N(x) := \int_0^x e^{-\frac{1}{2}\ t^2}\ \text{d} t
\]
che esprime la funzione di distribuzione della variabile casuale normale (o gaussiana , che dir si voglia) standard[nota]Cioè con media $\mu = 0$ e deviazione standard $\sigma =1$.[/nota]; l'integrale che vi figura non è calcolabile "a mano" (cioè con i metodi di integrazione che conosci) e si può dimostrare che esso non si può esprimere tramite una funzione elementare.[nota]Per un teorema dovuto essenzialmente a Liouville.[/nota]
Come sai, la variabile casuale normale si usa per descrivere, ad esempio, l'andamento degli errori di misura non sistematici.
Altro esempio è dato dalla funzione \(\operatorname{Si}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
\operatorname{Si} (x) := \int_0^x \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t
\]
che si chiama seno integrale. Il solito teorema di Liouville consente di stabilire che nemmeno la funzione \(\operatorname{Si}\) è una funzione elementare.
Questa funzione ha applicazioni in ottica, se non erro, e (unita ad un'altra funzione detta coseno integrale) risolve un'interessante problema di cinematica.
Oppure la funzione \(\Gamma : ]0, +\infty[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
\Gamma (x) := \int_0^{+\infty} t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t\; ,
\]
che è chiamata funzione gamma di Eulero, non è elementare (sempre come conseguenza di Liouville, immagino). La si ritrova un po' ovunque si debba aver a che fare coi fattoriali "generalizzati" (ad esempio, in Probabilità, ma anche nella teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali classiche).
Ancora, le funzioni di Bessel di prima specie, cioè le funzioni \(\operatorname{J}_\nu : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definite mediante lo sviluppo in serie:
\[
\operatorname{J}_\nu (x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\ \Gamma (n+1+\nu)}\ \left( \frac{x}{2} \right)^{2n+\nu}
\]
con $\nu \geq 0$, non sono elementari (se non in alcuni casi, ad esempio $\nu = 1/2$). Tali funzioni servono per descrivere, ad esempio, le vibrazioni armoniche di membrane percosse (perché sono soluzioni di particolari equazioni differenziali).
Ti sono veramente grato gugo82, ora sono decisamente soddisfatto delle nozioni di cui mi hai parlato cose molto interessanti.
Spero che possa ancora usare il forum per richieste di questo genere, più curiosità che aiuti veri e propri.
Grazie ancora, e alla prossima
Spero che possa ancora usare il forum per richieste di questo genere, più curiosità che aiuti veri e propri.
Grazie ancora, e alla prossima
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo