[Curiosità] Come esprimere questa successione?

[Trivia89]

Ciao a tutti, nel compito scritto che ho affrontato oggi ho trovato un esercizio sulla trasformata zeta che mi ha spiazzato; il termine noto era infatti una fantomatica successione:

$a(n) = {(0, n = 3k),(1, n = 3k+1), (-1, n = 3k+2):}

Avevo pensato a qualche giochino con le funzioni trigonometriche ma non sono arrivato a niente in tempo utile, e tutt'ora mi sta dando molti grattacapi.
Avete qualche idea? Ciao e grazie

[NightKnight1]

Cosa sarebbe la trasformata zeta?
e poi nell'ultima riga intendi $n = 3k+2$, vero?

[Trivia89]

"NightKnight":Cosa sarebbe la trasformata zeta?
e poi nell'ultima riga intendi $n = 3k+2$, vero?

Sì certo, mia svista.
La trasformata zeta porta un segnale campionato in istanti discreti (dunque definito in N) nel dominio C.
L'esercizio consisteva nel trovare un'espressione per una successione definita per ricorrenza, e il termine noto era appunto questa a(n).
Non mi concentro tanto sull'esercizio (che era piuttosto semplice) quanto sul fatto che non ho trovato una espressione per questa successione... mi sono bloccato prima di partire

[_Tipper]

$a(n) = n \mod 3, n \in \mathbb{N}$

Era questo che intendevi?

[Trivia89]

"Tipper":$a(n) = n \mod 3, n \in \mathbb{N}$

Era questo che intendevi?

Mi devi perdonare perchè sono completamente fuso, non vale 2 ma -1 per n = 3k+2

[_Tipper]

E perché?

[Trivia89]

"Tipper":E perché?

Intendevo dire che mi ero confuso scrivendo il testo, ovviamente la successione che mi hai suggerito risolveva perfettamente il problema che io avevo sbagliato a scrivere (anche se non sarebbe stato agevole z-trasformarla).

[Fioravante Patrone1]

fa lo stesso
2 = -1, modulo 3

[Trivia89]

"Fioravante Patrone":fa lo stesso
2 = -1, modulo 3

Il problema è che questa successione mi servirebbe per risolvere una equazione che definisce una seconda successione, diciamo x(n), per ricorrenza.
Il fatto che mi sia chiesto dunque di z-trasformare questa successione a(n) lascia intendere che dovrebbe esisterne una espressione più semplice per i calcoli, fermo restando la possibilità di applicare la definizione di trasformata ottenendo $1/z - 1/z^2 + 1/z^4 - 1/z^5 + ...$ che comunque non sembra essere facile da esprimere ed eventualmente antitrasformare.

[_Tipper]

Se ho capito bene, tu cerchi una formula esplicita più semplice per $a(n)$ che ti consenta di calcolarne la Z-trasformata. Io lascerei perdere questa strada, ma lavorerei direttamente su $a(n)$ così come ti è stata data

$\mathcal{Z}\{a(n)\} = A(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a(n) z^{-n} = \sum_{n \in \{1, 4, 7, \ldots\}} z^{-n} - \sum_{n \in \{2, 5, 8, \ldots\}} z^{-n} = \sum_{k=0}^{+\infty} z^{-(3k+1)} - \sum_{k=0}^{+\infty} z^{-(3k+2)} =$

$= z^{-1} \sum_{k=0}^{+\infty} (z^{-3})^k - z^{-2} \sum_{k=0}^{+\infty} (z^{-3})^k$

Se $|z^{-3}| < 1$ le serie convergono e in tal caso la trasformata vale

$A(z) = \frac{z^{-1}}{1 - z^{-3}} - \frac{z^{-2}}{1 - z^{-3}} = \frac{z^{-1} - z^{-2}}{1 - z^{-3}}$

Era questo quello che cercavi?

[Trivia89]

"Tipper":Se ho capito bene, tu cerchi una formula esplicita più semplice per $a(n)$ che ti consenta di calcolarne la Z-trasformata. Io lascerei perdere questa strada, ma lavorerei direttamente su $a(n)$ così come ti è stata data

$\mathcal{Z}\{a(n)\} = A(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a(n) z^{-n} = \sum_{n \in \{1, 4, 7, \ldots\}} z^{-n} - \sum_{n \in \{2, 5, 8, \ldots\}} z^{-n} = \sum_{k=0}^{+\infty} z^{-(3k+1)} - \sum_{k=0}^{+\infty} z^{-(3k+2)} =$

$= z^{-1} \sum_{k=0}^{+\infty} (z^{-3})^k - z^{-2} \sum_{k=0}^{+\infty} (z^{-3})^k$

Se $|z^{-3}| < 1$ le serie convergono e in tal caso la trasformata vale

$A(z) = \frac{z^{-1}}{1 - z^{-3}} - \frac{z^{-2}}{1 - z^{-3}} = \frac{z^{-1} - z^{-2}}{1 - z^{-3}}$

Era questo quello che cercavi?

Effettivamente mi sembra la strada più efficiente e mi rammarico di non avere agito così, mi sono fatto giocare dall'ansia da compito