Curiosità
Premetto che gli integrali all'Università non li abbiamo ancora fatti, quindi non ho appunti di lezioni a cui fare riferimento. Tutto ciò che segue deriva semplicemente da mie considerazioni personali e ricordi "liceali" dell'integrale. La curiosità che mi ha preso questa mattina nasce da alcune considerazioni che stavo facendo sulle serie.
Sia $f:[a,b] \subseteq RR to RR$ una funzione continua [1] sull'intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato; sia $n \in NN$ e si divida $[a,b]$ in $n$ intervalli ciascuno di ampiezza $\Delta x = \frac{b-a}{n}$; gli estremi di questi intervalli sono $x_0=a, x_1=a+\Delta x, x_2=a+2\Delta x, ..., x_n=b$; in ciascuno di questi intervalli vi è un massimo e un minimo: siano $M_k, m_k$ massimo e minimo della funzione nell'intervallo $[x_{k-1}, x_k]$; siano $s_n$ ed $S_n$ le somme integrali inferiore e superiore rispettivamente così definite:
$s_n:=m_1\Delta x + m_2 \Delta x + \ldots + m_n \Delta x = \sum_{k=1}^{n} m_k \Delta x$
$S_n:=M_1\Delta x + M_2 \Delta x + \dots + m_n \Delta x = \sum_{k=1}^{n} M_k \Delta x$
Accade che $lim_{n to +oo}s_n=lim_{n to +oo}S_n=l \in RR$; allora si pone $\int_{a}^{b}f(x)dx:=l$ e $\int_{a}^{b}f(x)dx$ si chiama integrale secondo Riemann della funzione $f$ sull'intervallo $[a,b]$.
La richiesta che voglio fare è un poco particolare: non ho dubbi sull'integrale, sulla notazione, sul significato e su qualche cosa di diverso (anche perché ancora non ho fatto nulla di diverso da quello che ho scritto a proposito di integrali), nemmeno sul modo in cui formalmente si dovrebbe scrivere quello che ho scritto (sono convinto che qualche grossa minc****a l'ho fatta scrivendo tutto l'ambaradan dell'integrale in quel modo), ma quello che voglio chiedere è questo:
al variare di $n \in NN$ si hanno due successioni: la successione delle somme integrali inferiori e quella delle somme integrali superiori; ciascun termine di queste due successioni è una somma di $n$ termini. La successione delle somme integrali inferiori si passa la limite e lo stesso si fa con quella superiore. A me sto fatto mi sa tanto di serie. E' corretto dire che l'integrale è la serie $sum_{n=1}^{+oo}s_n=\sum_{n=1}^{+oo}S_n$?
Io penso di no, perché per avere una serie devo prima avere una successione ${a_n}_{n \in NN}$ da cui tirare fuori la successione delle somme ${s_n}_{n \in NN}$ con $s_n=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$, per poi parlare della somma della serie se questa è convergente e indicare questa somma con $sum_{n = 1}^{+oo}s_n$ ove $sum_{n = 1}^{+oo}$ è il limite di $s_n$, cioè $lim_{n to +oo}s_n$, e in questo caso la successione $a_n$ non ce l'ho.
Non è che sto mischiando le serie con gli integrali senza motivo e sto facendo solo confusione?
[1] Ho messo continua perché se non ricordo male la continuità rende la funzione sicuramente integrabile.
Sia $f:[a,b] \subseteq RR to RR$ una funzione continua [1] sull'intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato; sia $n \in NN$ e si divida $[a,b]$ in $n$ intervalli ciascuno di ampiezza $\Delta x = \frac{b-a}{n}$; gli estremi di questi intervalli sono $x_0=a, x_1=a+\Delta x, x_2=a+2\Delta x, ..., x_n=b$; in ciascuno di questi intervalli vi è un massimo e un minimo: siano $M_k, m_k$ massimo e minimo della funzione nell'intervallo $[x_{k-1}, x_k]$; siano $s_n$ ed $S_n$ le somme integrali inferiore e superiore rispettivamente così definite:
$s_n:=m_1\Delta x + m_2 \Delta x + \ldots + m_n \Delta x = \sum_{k=1}^{n} m_k \Delta x$
$S_n:=M_1\Delta x + M_2 \Delta x + \dots + m_n \Delta x = \sum_{k=1}^{n} M_k \Delta x$
Accade che $lim_{n to +oo}s_n=lim_{n to +oo}S_n=l \in RR$; allora si pone $\int_{a}^{b}f(x)dx:=l$ e $\int_{a}^{b}f(x)dx$ si chiama integrale secondo Riemann della funzione $f$ sull'intervallo $[a,b]$.
La richiesta che voglio fare è un poco particolare: non ho dubbi sull'integrale, sulla notazione, sul significato e su qualche cosa di diverso (anche perché ancora non ho fatto nulla di diverso da quello che ho scritto a proposito di integrali), nemmeno sul modo in cui formalmente si dovrebbe scrivere quello che ho scritto (sono convinto che qualche grossa minc****a l'ho fatta scrivendo tutto l'ambaradan dell'integrale in quel modo), ma quello che voglio chiedere è questo:
al variare di $n \in NN$ si hanno due successioni: la successione delle somme integrali inferiori e quella delle somme integrali superiori; ciascun termine di queste due successioni è una somma di $n$ termini. La successione delle somme integrali inferiori si passa la limite e lo stesso si fa con quella superiore. A me sto fatto mi sa tanto di serie. E' corretto dire che l'integrale è la serie $sum_{n=1}^{+oo}s_n=\sum_{n=1}^{+oo}S_n$?
Io penso di no, perché per avere una serie devo prima avere una successione ${a_n}_{n \in NN}$ da cui tirare fuori la successione delle somme ${s_n}_{n \in NN}$ con $s_n=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$, per poi parlare della somma della serie se questa è convergente e indicare questa somma con $sum_{n = 1}^{+oo}s_n$ ove $sum_{n = 1}^{+oo}$ è il limite di $s_n$, cioè $lim_{n to +oo}s_n$, e in questo caso la successione $a_n$ non ce l'ho.
Non è che sto mischiando le serie con gli integrali senza motivo e sto facendo solo confusione?
[1] Ho messo continua perché se non ricordo male la continuità rende la funzione sicuramente integrabile.
Risposte
la continuità non è una condizione necessaria per l'integazione secondo Riemann, infatti essa deve avere un numero finito di punti di discontinuità... 
ciao
ciao
Non volevo dire che l'integrabilità secondo Riemann implica la continuità, ma il contrario, cioè la continuità è sufficiente per l'integrabilità.
E' sbagliato?
E' sbagliato?
"WiZaRd":
Non volevo dire che l'integrabilità secondo Riemann implica la continuità, ma il contrario, cioè la continuità è sufficiente per l'integrabilità.
E' sbagliato?
no, non è sbagliato, ma p una condizione sufficente ma non necessaria, in quanto una funzione, per essere integrabile secondo Riemann, basta che abbia un numero finito di punti di discontinuità....
Alla domanda :
"E' corretto dire che l'integrale è la serie $sum_(n=1)^(+∞) sn=sum_(n=1)^(+∞) Sn$?"
Rispondo di no (cioè confermo la tua risposta).
Cioè con $S_n$ o $s_n$ ci si riferisce ad UN'area (più o meno "grossolana") della funzione. Ora se consideriamo ad esempio $sum_(n=1)^(+∞) sn$ il risultato sarà la somma di infinite aree (sempre più accurate) dell'intera funzione. E non conicide assolutamente con la spiegazione precedente.
"E' corretto dire che l'integrale è la serie $sum_(n=1)^(+∞) sn=sum_(n=1)^(+∞) Sn$?"
Rispondo di no (cioè confermo la tua risposta).
Cioè con $S_n$ o $s_n$ ci si riferisce ad UN'area (più o meno "grossolana") della funzione. Ora se consideriamo ad esempio $sum_(n=1)^(+∞) sn$ il risultato sarà la somma di infinite aree (sempre più accurate) dell'intera funzione. E non conicide assolutamente con la spiegazione precedente.
Sono d'accordo con crlscr.
Io non capisco perché sommi le somme parziali.
Io vedo una differenza sostanziale tra tutto ciò e le serie. Nelle serie hai qualcosa del tipo $sum_n a_n$ dove $a_n$ è un numero reale o complesso (diciamo) dipendente da n, mentre nel caso di cui hai discusso hai qualcosa del tipo $sum_{k=1}^n a_{kn}$ dove $a_{kn}$ dipende da k e da n (nella fattispecie, $m_k$ e $M_k$ dipendono da k e da n, $Delta x$ dipende da n). E quindi succede che quando mandi n all'infinito non cambia solo ogni volta il numero di addendi, ma cambiano gli addendi, in quanto se $n_1 ne n_2$ allora in generale $a_{kn_1} ne a_{kn_2}$ per qualche k.
"WiZaRd":
E' corretto dire che l'integrale è la serie $sum_{n=1}^{+oo}s_n=\sum_{n=1}^{+oo}S_n$?
Io non capisco perché sommi le somme parziali.
Io vedo una differenza sostanziale tra tutto ciò e le serie. Nelle serie hai qualcosa del tipo $sum_n a_n$ dove $a_n$ è un numero reale o complesso (diciamo) dipendente da n, mentre nel caso di cui hai discusso hai qualcosa del tipo $sum_{k=1}^n a_{kn}$ dove $a_{kn}$ dipende da k e da n (nella fattispecie, $m_k$ e $M_k$ dipendono da k e da n, $Delta x$ dipende da n). E quindi succede che quando mandi n all'infinito non cambia solo ogni volta il numero di addendi, ma cambiano gli addendi, in quanto se $n_1 ne n_2$ allora in generale $a_{kn_1} ne a_{kn_2}$ per qualche k.
Come sempre illuminanti.
Stamane stavo pensando alle serie (nulla di particolare, tutte cose legate alle notazioni e al significato di serie) e sono andato a rivedermi il capitolo sulle serie del nostro testo di riferimento (Marcellini-Sbordone) nel quale si pone per definizione $\sum_{n=1}^{+oo}a_n=lim_{n to +oo} s_n=lim_{n \to +oo}\sum_{k=1}^{n}a_k$ ove $s_n$ è la somma parziale $s_n=a_1 + a_2 + ... + a_n$. Sfogliando sfogliando, sono capitato sul capitolo integrali e la cosa chemi ha colpito è la differenza di approccio rispetto al liceo, quindi sono andato a riprendermi il libro del liceo nel quale si pone che l'integrale è il limite della successione delle somme integrali. Siccome il limite delle sucessioni delle somme integrali è $lim_{n to +oo}s_n$ e $s_n=\sum_{k=1}^{n}m_k \Delta x$ ho pensato che c'era una certa analogia con la serie e mi sono posto la domanda.
Da una parte mi uscivano dei sì, da un'altra dei no, poi ho pensato che non avevo una successione $a_n$ dalla quale far venire fuori la successione delle somme $s_n$ e quindi mi stavo convincendo del no. Ma non ne ero del tutto convinto. Quindi il post sul forum.
Le considerazioni che avete fatto mi erano passate per la testa mentre ero a pranzo, ma erano molto molto di carattere intuitivo e quindi pensavo di essere in errore.
Ringrazio entrambi per i chiarimenti. Buon proseguimento di giornata a tutti.
Stamane stavo pensando alle serie (nulla di particolare, tutte cose legate alle notazioni e al significato di serie) e sono andato a rivedermi il capitolo sulle serie del nostro testo di riferimento (Marcellini-Sbordone) nel quale si pone per definizione $\sum_{n=1}^{+oo}a_n=lim_{n to +oo} s_n=lim_{n \to +oo}\sum_{k=1}^{n}a_k$ ove $s_n$ è la somma parziale $s_n=a_1 + a_2 + ... + a_n$. Sfogliando sfogliando, sono capitato sul capitolo integrali e la cosa chemi ha colpito è la differenza di approccio rispetto al liceo, quindi sono andato a riprendermi il libro del liceo nel quale si pone che l'integrale è il limite della successione delle somme integrali. Siccome il limite delle sucessioni delle somme integrali è $lim_{n to +oo}s_n$ e $s_n=\sum_{k=1}^{n}m_k \Delta x$ ho pensato che c'era una certa analogia con la serie e mi sono posto la domanda.
Da una parte mi uscivano dei sì, da un'altra dei no, poi ho pensato che non avevo una successione $a_n$ dalla quale far venire fuori la successione delle somme $s_n$ e quindi mi stavo convincendo del no. Ma non ne ero del tutto convinto. Quindi il post sul forum.
Le considerazioni che avete fatto mi erano passate per la testa mentre ero a pranzo, ma erano molto molto di carattere intuitivo e quindi pensavo di essere in errore.
Ringrazio entrambi per i chiarimenti. Buon proseguimento di giornata a tutti.
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