Curiosità

[G.D.5]

Buon giorno amici matematici e appassionati di matematica (ho coniato G. Meda!!! ).

Stamattina mi sono svegliato (non so perché) con in testa il pensiero di provare a fare una piccola dimostrazione del fatto che i numeri razionali sono infiniti.

Partendo dalle mie piccole e modestissime basi matematiche ho partorito queste due fesserie (chiedo scusa se il termine non fosse gradito a qualcuno):

fesseria numero 1

Siano dati due numeri razionali $a/b$ e $c/d$ con $a,b,c,d in ZZ$, le frazioni ridotte ai minimi termini, $a/b,c/d>0$ e $a/b

fesseria numero 2

Sia $a/b$ un numero razionale; il numero $(a+1)/b$ è ancora razionale ed è $(a+1)/b>a/b$ tale procedimento è iterabile all'infinito quindi i razionali sono infiniti e l'insieme $QQ$ non è limitato

Ora, queste due "boiate" che ho detto dovrebbere servire nlle mie intenzioni a fare due cose:
a) la fesseria numero 1 dovrebbe servire per dimostrare che tra due razionali ce ne sono infiniti altri e siccome tra due razionali ce ne sono infiniti altri allora l'insieme $QQ$ ha infiniti elementi
b) la fesseria numero due dovrebbe servire a dimostrare che l'insieme dei razionali non è limitato e quindi ha infiniti elementi

ora vi chiedo
1) avere dimostrato (ammesso che ci sia riuscito) che tra due razionali ce ne sono infinit altri è sufficiente per dire che i razionali sono infiniti?
2) avere dimostrato (ammesso che ci sia riuscito) che i razionali non sono limitati è sufficiente per dire che i razionali sono infiniti?
3) per dimostrare che i razionali sono infiniti bisogna unire le due fesserie o ciascuna è sufficiente da sola?
4) in generale, se si dimostra che un insieme non è limitato allora si è anche dimostrato che esso ha infiniti elementi?

grazie per l'attenzione

[_Tipper]

Per dimostrare che un insieme è infinito, di solito, si dimostra che esiste un suo sottoinsieme proprio con cui può essere messo in corrispondenza biunivoca.

[_Tipper]

"WiZaRd":Siano dati due numeri razionali $a/b$ e $c/d$ con $a,b,c,d in ZZ$, le frazioni ridotte ai minimi termini, $a/b,c/d>0$ e $a/b
Non mi sembra sbagliata, ma, comunque si prendano due razionali $a_1$ e $a_2$, $a_1 \ne a_2$, per dimostrare che ce n'è sempre (almeno) uno in mezzo, non era più semplice prendere $\frac{a_1 + a_2}{2}$?

[G.D.5]

@ Tipper: con riferimento al primo post: non lo sapevo, lavoro ancora con i rudimenti del liceo, quindi ogni correzione è gradita
con riferimento al secondo: hai proprio ragione

[_Tipper]

"WiZaRd":1) avere dimostrato (ammesso che ci sia riuscito) che tra due razionali ce ne sono infinit altri è sufficiente per dire che i razionali sono infiniti?

Certo.

"WiZaRd":2) avere dimostrato (ammesso che ci sia riuscito) che i razionali non sono limitati è sufficiente per dire che i razionali sono infiniti?

No: l'insieme $[0,1] \subset \mathbb{R}$ è limitato, ma ha cardinalità infinita.

EDIT: abbi pazienza, avevo capito il contrario...

"WiZaRd":3) per dimostrare che i razionali sono infiniti bisogna unire le due fesserie o ciascuna è sufficiente da sola?

Basta la prima.

EDIT: come sopra - mi sembra basti anche la seconda da sola...

"WiZaRd":4) in generale, se si dimostra che un insieme non è limitato allora si è anche dimostrato che esso ha infiniti elementi?

Se un insieme $A$ non è limitato (superiormente, il caso duale si tratta analogamente) allora $\forall a \in A \quad \exists M \in A : M > a$, quindi direi che basta...

[_Tipper]

"WiZaRd":@ Tipper: con riferimento al primo post: non lo sapevo, lavoro ancora con i rudimenti del liceo, quindi ogni correzione è gradita

Non è che fosse una correzione: io conosco questa definizione di insieme di cardinalità infinita, ma non è mica detto che sia l'unica e la migliore.

[G.D.5]

"Tipper":[quote="WiZaRd"]@ Tipper: con riferimento al primo post: non lo sapevo, lavoro ancora con i rudimenti del liceo, quindi ogni correzione è gradita

Non è che fosse una correzione: io conosco questa definizione di insieme di cardinalità infinita, ma non è mica detto che sia l'unica e la migliore. [/quote]

Va bè...correzione, accorgimento, informazione...qualunque cosa sia mi fa piacere averla ricevuta

[zorn1]

Sono giuste entrambe, e utili in contesti più generali di $QQ$, come i campi ordinati. La 1) è comune a tutti i campi ordinati. In particolare la 2) mostra che $QQ$ è archimedeo.

[G.D.5]

ok...grazie a entrambi

[Chevtchenko]

Io direi che per dimostrare che $QQ$ e' infinito basta dimostrare che tale e' il suo sottoinsieme $NN$...