Curiosita'

[univr1]

un bicchiere di plastica a forma di tronco di cono avente rispettivamente altezza 7cm, diametro della base inferiore 5cm, diametro base superiore 7cm, viene riempito di vino al tasso di 5cm^3/s. da un foro della base inferiore, il vino defluisce ad una velocita', espressa in cm^3/s, pari al doppio della radice quadrata del livello di vino nel recipiente. si determini la velocita' con cui cresce (o decresce) il livello di vino quando esso e' pari a 1cm, si stabilisca inoltre se il vino tracimera' o meno dal recipiente.

questo e' un esercizio di un esame di analisi 1 e vorrei una mano per risolverlo, grazie di tutto

[goblyn]

d=5cm
D=7cm
h=7cm
p=5cm^3/s
x0=1cm
x=livello del vino
u=2sqrt(x) velocità d'uscita del vino

Un tronco di cono con basi di diametro D e d e altezza h ha un volume:

V = pi/12 * h/(D-d) * [D^3-d^3]

Nel nostro caso la base minore è fissa. Variano l'altezza e la base maggiore. L'altezza è il livello del liquido x. Il diametro della base maggiore D'(x) la si ottiene tramite similitudini (ometto i conti):

D'(x)= d + (D-d)*x/h

Il volume di liquido, dopo le sostituzioni, diventa:

V(x)=pi/12 * h/(D-d) * [ (d + (D-d)x/h)^3 - d^3 ]

Facciamo un bilancio:

dV/dt = p - u(x)

ovvero

dV/dx * dx/dt = p - u(x)

quindi

dx/dt = (p-u(x)) / (dV/dx)

Se dx/dt>0 il livello cresce, se no decresce

dV/dx = pi/4 * [d+(D-d)/h*x]^2

Sostituiamo i numeri...

dV/dx = pi/4*[5+2/7 x]^2

dx/dt = 4/pi * (5-2sqrt(x)) / [5 + 2/7 x]^2

All'inizio x=1:

dV/dt = p-u(1) = 5-2 = 3 cm^3/s (aumenta)

dx/dt > 0 se x < 6.25 cm ===>

quindi prima che il recipiente sia pieno, il livello decrescerà (precisamente quando arriverà a 6.25 cm). Quindi il vino non tracimerà.

All'inizio (x=1) dx/dt vale (basta sostituire) 0.137 cm/s (in aumento)