C.S. affinchè f sia crescente o decrescente dal segno di f'

[Gmork]

Allora...ho trovato la seguente condizione sufficiente:

Sia $f:I\to \mathbb{R}$ una funzione derivabile in $x_0$

i)se $f'(x_0)>0$ $\Rightarrow$ f è crescente in $x_0$
ii)se $f'(x_0)<0$ $\Rightarrow$ f è decrescente in $x_0$

il viceversa in generale è falso....Ma perchè? Cioè se io ho una $f$ monotona strettamente crescente per esempio, non accade che $f'(x_0)>0$ ???

[Mathcrazy]

"Orlok":Allora...ho trovato la seguente condizione sufficiente:

Sia $f:I\to \mathbb{R}$ una funzione derivabile in $x_0$

i)se $f'(x_0)>0$ $\Rightarrow$ f è crescente in $x_0$
ii)se $f'(x_0)<0$ $\Rightarrow$ f è decrescente in $x_0$

il viceversa in generale è falso....Ma perchè? Cioè se io ho una $f$ monotona strettamente crescente per esempio, non accade che $f'(x_0)>0$ ???

Attento:

i)se $f'(x)>0$ $\Rightarrow$ f è strettamente crescente
ii)se $f'(x)<0$ $\Rightarrow$ f è strettamente decrescente

Per spiegarti il significato dell'implicazione in un solo verso,cerco di farti arrivare da solo:
Studia la funzione $f(x)=x^3$.
Ti premetto che è una funzione strettamente crescente, però $f'(x)$ è...

[Gmork]

$3x^2$

EDIT: si comunque per crescente o decrescente intendevo in modo stretto

[Mathcrazy]

"Orlok":$3x^2$

Si ok.
se ti dicessi $f'(x)=3x^2>=0$, è esatto?, nel nostro caso?

"Orlok":EDIT: si comunque per crescente o decrescente intendevo in modo stretto

E' proprio questo il nocciolo del problema.

[Gmork]

Credo di si, perchè per $x=0$ si ha che $f'(x)=0$

[Mathcrazy]

Esattamente!
Quindi siamo giunti alla conclusione che $f(x)=x^3$ è strettamente crescente, però $f'(x)>=0$ e non $>$ stretto .


La definizione ci dice che data un $f:I->R$ continua e derivabile* in $I$ allora
Se $AA x in I$ $:$ $f'(x_0)>0$ $\Rightarrow$ f è strettamente crescente in $I$.

Se fosse stato vero il viceversa avremmo sempre dovuto dire anche che: se f è strettamente crescente in $I$ $rArr$ $f'(x)>0$.
Nell'esempio che ti ho proposto abbiamo trovato che $f$ è strettamente crescente ma $f'(x)>=0$


Abbiamo trovato un controesempio, ergo non vale il viceversa.
Chiaro?


______________
* Per la verità deve essere derivabile all'interno di $I$

[Gmork]

Chiarissimo grazie.

Ma allora è anche una C.S. il fatto che

i)se f è non decrescente allora $f'(x_0)\ge 0$
ii)se f è non crescente allora $f'(x_0)\le 0$ ???

lo chiedo perchè dato che $x^3$ è strettamente crescente ma ha derivata $3x^2$ non negativa, se la suddetta fosse con la doppia implicazione allora $f$ dovrebbe essere non decrescente anziché strettamente crescente...non so se mi sono spiegato

[Mathcrazy]

"Orlok":Chiarissimo grazie.

Ma allora è anche una C.S. il fatto che

i)se f è non decrescente allora $f'(x_0)\ge 0$
ii)se f è non crescente allora $f'(x_0)\le 0$ ???

lo chiedo perchè dato che $x^3$ è strettamente crescente ma ha derivata $3x^2$ non negativa, se la suddetta fosse con la doppia implicazione allora $f$ dovrebbe essere non decrescente anziché strettamente crescente...non so se mi sono spiegato

Temo di non aver capito.
Cosa vuoi dire,quando dici non decrescente (crescente??), non crescente (decrescente??)
Riformula la domanda, magari con un esempio.

[Gmork]

Intendevo che se $\forall x',x''\in I$ con $x'

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[Mathcrazy]

No ma infatti, (se ho capito bene cosa chiedi), il problema della non validità dell'implicazione inversa si ha solo nel caso di funzioni strettamente crescenti/decrescenti.

Perché se la funzione è crescente o decrescente (ma NON strettamente) valgono entrambe le implicazioni.

Cioè:

Se $f'(x)>=0$ $hArr$ $f$ è crescente in $I$ (vale anche il viceversa infatti ho messo $hArr$)
Se $f'(x)<=0$ $hArr$ $f$ è decrescente in $I$ (vale anche il viceversa, infatti ho messo $hArr$)

Mentre il problema si pone quando c'è la disuguaglianza stretta:

Se $f'(x)>0$ $rArr$ $f$ è strettamente crescente in $I$ (NON vale il viceversa, infatti ho messo $rArr$)
Se $f'(x)<0$ $rArr$ $f$ è strettamente decrescente in $I$ (NON vale il viceversa, infatti ho messo $rArr$)

[Gmork]

Perfetto. Hai proprio inquadrato il mio dubbio, grazie^^

[Rigel1]

"Orlok":
Sia $f:I\to \mathbb{R}$ una funzione derivabile in $x_0$

i)se $f'(x_0)>0$ $\Rightarrow$ f è crescente in $x_0$
ii)se $f'(x_0)<0$ $\Rightarrow$ f è decrescente in $x_0$

Quale definizione usi di funzione crescente/decrescente in un punto?

[Gmork]

$f$ crescente in un punto $x_0$ sarebbe che $\forall x\in I(x_0)-{x_0}$ con $x

Cita

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[Mathcrazy]

no no.
Non ha senso dire che una funzione è crescente/decrescente in un punto, ma bensì in un intervallo.
Mi era sfuggito prima.

[Gmork]

Ah ok.

Invece... le proprietà derivanti, come conseguenze, del Teorema di Lagrange secondo le quali:

Sia $f:I\to \mathbb{R}$ ivi continua e derivabile.

se $f'(x)>0$ $\forall x\in I\Rightarrow f$ è crescente in $I$ ecc...

sono anch'esse C.S. come quella descritta all'inizio di questo post?

[Rigel1]

Una condizione necessaria e sufficiente è questa.

Sia $f:I\to RR$ una funzione derivabile nell'intervallo $I\subset RR$.
Allora $f$ è monotona crescente in $I$ se e solo se $f'(x)\ge 0$ per ogni $x\in I$.

Analogo enunciato vale per le funzioni monotone decrescenti.

Precisazione: io chiamo "monotona crescente" ciò che su altri testi è chiamato "monotona non decrescente"; in ogni caso, significa
$f(x) \le f(y)$ per ogni $x,y\in I$ tali che $x

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[Gmork]

Ok. Siccome avevo trovato nel libro, come conseguenza a Lagrange proprietà del tipo

Se $f'(x)=0$ $\forall x\in I$ allora $f$ è costante e via dicendo. Basandomi su ciò che mi è stato detto a proposito del segno della derivata prima mi domandavo se per esempio anche questa che ho scritto rappresenta una C.S.

[Rigel1]

Vale anche questa:

Sia $f:I\to RR$ una funzione derivabile nell'intevallo $I\subset RR$.
Se $f'(x) > 0$ per ogni $x\in I$, allora $f$ è monotona strettamente crescente in $I$.

Questa è solo una condizione sufficiente, come puoi verificare andando a considerare la funzione $f(x) = x^3$ in $RR$.

[Gmork]

Perfetto era quello che volevo sapere. Grazie