Criterio serie
Ciao a tutti.
Non riesco a risolvere la seguente serie.
\sum_{n = 2}^{+infty} [((n^n)/(n^2-1))*x^(2n)]
Di solito mi muovo calcolando la serie dei valori assoluti. Ma mi chiedo se in questo caso abbia senso visto che la x è elevata ad una quantità sempre positiva.
Che criterio poi andrebbe applicato? Con quello della radice non ne esco fuori.
Grazie.
Non riesco a risolvere la seguente serie.
\sum_{n = 2}^{+infty} [((n^n)/(n^2-1))*x^(2n)]
Di solito mi muovo calcolando la serie dei valori assoluti. Ma mi chiedo se in questo caso abbia senso visto che la x è elevata ad una quantità sempre positiva.
Che criterio poi andrebbe applicato? Con quello della radice non ne esco fuori.
Grazie.
Risposte
Ciao Bianca,
Allora prima di tutto osserviamo che per $x=0$ abbiamo la serie banale di soli zeri, che è ovviamente convergente, quindi la studiamo per $x\ne 0$.
Ora in primo luogo riscriverei la serie in questo modo:
$$
\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n^{n-2}}{1-\frac{1}{n^2}}*x^{2n}
$$
così si vede subito che la nostra serie è asintotica alla seguente:
$$
\sum_{n = 2}^{+\infty} n^{n-2}x^{2n}
$$
a questo punto, notando che $\forall x \ne 0$ la nostra è una serie a termini positivi, applichiamo il criterio della radice(possiamo farlo perché è a termini positivi), perciò dobbiamo studiare il seguente limite:
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^{n-2}x^{2n}}=\lim_{n\to \infty}nx^2\sqrt[n]{n^{-2}}
$$
adesso visto che
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^{-2}}=\lim_{n\to \infty}e^{\ln{\sqrt[n]{n^{-2}}}}=\lim_{n\to \infty}e^{-2\frac{\ln{n}}{n}}=1
$$
avremo che
$$
\lim_{n\to \infty}nx^2\sqrt[n]{n^{-2}}=+\infty >1
$$
per ogni valore di $x$ eccetto ovviamente $0$; quindi la nostra serie è sempre divergente tranne che per $x=0$.
Allora prima di tutto osserviamo che per $x=0$ abbiamo la serie banale di soli zeri, che è ovviamente convergente, quindi la studiamo per $x\ne 0$.
Ora in primo luogo riscriverei la serie in questo modo:
$$
\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n^{n-2}}{1-\frac{1}{n^2}}*x^{2n}
$$
così si vede subito che la nostra serie è asintotica alla seguente:
$$
\sum_{n = 2}^{+\infty} n^{n-2}x^{2n}
$$
a questo punto, notando che $\forall x \ne 0$ la nostra è una serie a termini positivi, applichiamo il criterio della radice(possiamo farlo perché è a termini positivi), perciò dobbiamo studiare il seguente limite:
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^{n-2}x^{2n}}=\lim_{n\to \infty}nx^2\sqrt[n]{n^{-2}}
$$
adesso visto che
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^{-2}}=\lim_{n\to \infty}e^{\ln{\sqrt[n]{n^{-2}}}}=\lim_{n\to \infty}e^{-2\frac{\ln{n}}{n}}=1
$$
avremo che
$$
\lim_{n\to \infty}nx^2\sqrt[n]{n^{-2}}=+\infty >1
$$
per ogni valore di $x$ eccetto ovviamente $0$; quindi la nostra serie è sempre divergente tranne che per $x=0$.
Grazie mille.
Ma non esiste un modo diverso? Nel senso che non credo sarei mai riuscita a individuare la funzione asintotica
Pero rapporto e radice non mi aiutavano effettivamente.
Ma non esiste un modo diverso? Nel senso che non credo sarei mai riuscita a individuare la funzione asintotica
Pero rapporto e radice non mi aiutavano effettivamente.
Beh l'asintotica in questo esercizio è più una semplice comodità, piuttosto che essere una necessità, arrivi allo stesso risultato notando che visto che la serie parte da 2, allora $n^2-1>0$ quindi la serie di partenza è già a termini positivi, per cui puoi applicare il criterio della radice direttamente alla serie di partenza.
Quello che cambia è che il limite da risolvere diventa "più difficile", perché all'interno del limite al posto di dover risolvere questo
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^{-2}}
$$
dovrai risolvere questo
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}-1}}
$$
che si risolve notando che $\frac{1}{n^{2}-1}$ è asintotico a $n^{-2}$, quindi hai solo rimandato il problema. Senza vedere gli asintotici è dura fare le serie, le successioni e i limiti
Quello che cambia è che il limite da risolvere diventa "più difficile", perché all'interno del limite al posto di dover risolvere questo
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^{-2}}
$$
dovrai risolvere questo
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}-1}}
$$
che si risolve notando che $\frac{1}{n^{2}-1}$ è asintotico a $n^{-2}$, quindi hai solo rimandato il problema. Senza vedere gli asintotici è dura fare le serie, le successioni e i limiti
Grazie mille davvero.
Purtroppo nonostante i numerosi esercizi non riesco a trovare la funzione asintotica e i manuali non mi aiutano molto.
Se posso approfittare della tua gentilezza, vorrei chiederti spiegazioni circa il penultimo passaggio, in cui scrivi che il limite è 1. Ma vale sempre?
Nel senso: se applico il criterio della radice e ho la radice n-esima di qualcosa, è corretto vederla come (^1/n) e quindi dire che, poiche n tende a infinito, 1/n è uguale a 0. Quindi, Poiche un numero elevato a 0 fa 1 il limite è 1?
Purtroppo nonostante i numerosi esercizi non riesco a trovare la funzione asintotica e i manuali non mi aiutano molto.
Se posso approfittare della tua gentilezza, vorrei chiederti spiegazioni circa il penultimo passaggio, in cui scrivi che il limite è 1. Ma vale sempre?
Nel senso: se applico il criterio della radice e ho la radice n-esima di qualcosa, è corretto vederla come (^1/n) e quindi dire che, poiche n tende a infinito, 1/n è uguale a 0. Quindi, Poiche un numero elevato a 0 fa 1 il limite è 1?
"Bianca_":
Grazie mille davvero.
Purtroppo nonostante i numerosi esercizi non riesco a trovare la funzione asintotica e i manuali non mi aiutano molto.
ma in realtà scovare gli asintotici è molto semplice nel nostro caso ad esempio avevamo la serie di partenza che era :
$$
\frac{n^{n}}{n^2-1}*x^{2n}
$$
e qui ci sono 3 termini ovvero, $n^{n}$, ${n^2-1}$ e $x^{2n}$ , tutti che individualmente vanno a infinito, per avere asintotici abbiamo bisogno di creare termini che vadano a 1 (o quantomeno ad una costante diversa da zero), perché se abbiamo dei termini che vanno a 1 allora la funzione asintotica sarà semplicemente la funzione di partenza privata di tali termini. Per questo motivo ho raccolto $n^2$ a denominatore in modo da trasformare il termine ${n^2-1}$ nei 2 termini $n^2*(1-\frac{1}{n^2})$, in questo modo il primo termine va sempre all'infinito, ma il secondo va ad 1 quindi l'asintotico è la funzione di partenza senza questo termine, tutto qui. Alla fine la tecnica bene o male è sempre questa.
"Bianca_":
Se posso approfittare della tua gentilezza, vorrei chiederti spiegazioni circa il penultimo passaggio, in cui scrivi che il limite è 1. Ma vale sempre?
Nel senso: se applico il criterio della radice e ho la radice n-esima di qualcosa, è corretto vederla come (^1/n) e quindi dire che, poiche n tende a infinito, 1/n è uguale a 0. Quindi, Poiche un numero elevato a 0 fa 1 il limite è 1?
No purtroppo no perché dipende da cosa c'è dentro la radice, infatti $1^\infty$, $\infty^0$ e $0^0$ sono forme indeterminate che si risolvono quasi sempre con la sostituzione che ho usato
Nel nostro caso avevamo la forma $0^0$.
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