Criterio necessario di convergenza per le serie
Proposizione: Sia $sum a_k$ convergente, con $a_k >= 0$ e $a_k$ monotona decrescente.
Allora si ha necessariamente che $n * a_n -> 0$.
Dimostrazione:
Sbaglio o in questa dimostrazione non entra in gioco la monotonia della successione $a_n$?
Allora si ha necessariamente che $n * a_n -> 0$.
Dimostrazione:
Sbaglio o in questa dimostrazione non entra in gioco la monotonia della successione $a_n$?
Risposte
La dimostrazione non sembra completa.
Nel ragionando per assurdo si prendono in considerazione i casi in cui quella successione diverge positivamente oppure converge ad un valore finito diverso da zero. Bisognerebbe considerare anche il caso in cui la successione non ha limite. Probabilmente quell'ipotesi è necessaria per escludere quest'ultimo caso. Come dimostrarlo rigorosamente non mi sembra banale.
Nel ragionando per assurdo si prendono in considerazione i casi in cui quella successione diverge positivamente oppure converge ad un valore finito diverso da zero. Bisognerebbe considerare anche il caso in cui la successione non ha limite. Probabilmente quell'ipotesi è necessaria per escludere quest'ultimo caso. Come dimostrarlo rigorosamente non mi sembra banale.
Bisogna dimostrare, ripeto "rigorosamente", che quella successione non può non avere limite nelle ipotesi indicate.
Solo allora la dimostrazione potrà essere comsiderata completa.
Se ti sembra banale potresti facilmente mostrarmi i passaggi.
Non vorrei mi stessi perdendo qualcosa.
Solo allora la dimostrazione potrà essere comsiderata completa.
Se ti sembra banale potresti facilmente mostrarmi i passaggi.
Non vorrei mi stessi perdendo qualcosa.
Mo dico una scemenza, ma il prodotto di due successioni monotone non è necessariamente una successione monotona (tenendo conto che $a_k>=0$)?
Se è così è fatta, perchè se $na_n$ è monotona, allora ammette limite (finito o infinito che sia).
Se è così è fatta, perchè se $na_n$ è monotona, allora ammette limite (finito o infinito che sia).
Se così fosse esisterebbe sicuramente un teorema, io non lo ricordo.
Perchè si possa enunciare un teorema del genere, è necessario prendere in considerazione tutti i casi possibili, anche quelli più patologici.
Sono d'accordo che il nostro caso particolare è intuitivamente ragionevole, ma una dimostrazione rigorosa è altra cosa.
In ogni modo, prima o poi troverò la soluzione rigorosa.
Ma se qualcuno già la conosce, è pregato di indicarla.
Ripeto, può darsi che mi stia perdendo qualcosa.
Perchè si possa enunciare un teorema del genere, è necessario prendere in considerazione tutti i casi possibili, anche quelli più patologici.
Sono d'accordo che il nostro caso particolare è intuitivamente ragionevole, ma una dimostrazione rigorosa è altra cosa.
In ogni modo, prima o poi troverò la soluzione rigorosa.
Ma se qualcuno già la conosce, è pregato di indicarla.
Ripeto, può darsi che mi stia perdendo qualcosa.
Grazie ad entrambi per le risposte.
La proposizione in effetti è carina; l'ho trovata sul testo di Knopp insieme alla dimostrazione, che, se non sbaglio, impiega il criterio di Cauchy per le serie. Ho voluto dimostrarla in questo modo perché è il primo che mi è venuto in mente. Non mi interessa - per ora - leggerla dal testo.
Aspetto conferme sulla questione della monotonia.
La proposizione in effetti è carina; l'ho trovata sul testo di Knopp insieme alla dimostrazione, che, se non sbaglio, impiega il criterio di Cauchy per le serie. Ho voluto dimostrarla in questo modo perché è il primo che mi è venuto in mente. Non mi interessa - per ora - leggerla dal testo.
Aspetto conferme sulla questione della monotonia.
Speculor hai decisamente ragione, non è affatto scontato quello che ho detto (per quello ho cancellato il messaggio che Seneca ha quotato XD). Penso che ci perderò un po' di tempo..
Siamo interessati a scoprire il comportamento di questo limite:
$lim_n ((a_n - a_(n+1) ) * n)/(a_(n+1))$
Essendo $a_n$ monotona si ha:
$a_n > a_(n+1)$ da cui $(a_n)/(a_(n+1)) > 1$
Essendo inoltre $a_n$ il termine generale di una serie convergente i casi sono due:
1) $lim_n (a_n)/(a_(n+1)) = 1 $ aut 2) $lim_n (a_n)/(a_(n+1)) > 1 $
2) Nel secondo caso $lim_n ((a_n - a_(n+1) ) * n)/(a_(n+1)) = + oo$ , infatti $lim_n ((a_n)/(a_(n+1)) - 1 ) * n = +oo$
$AA M > 0 , EE bar n : AA n > bar n $ si abbia $((a_n - a_(n+1) ) * n)/(a_(n+1)) >= M$
per $M = 1$ si trova: $ n * a_n >= a_(n+1) + n * a_(n+1)$
$ n * a_n >= ( 1 + n ) * a_(n+1)$ $Rightarrow$ $n * a_n$ è definitivamente monotona decrescente.
Al momento non ho idee per dedurre qualcosa nel caso 1).
$lim_n ((a_n - a_(n+1) ) * n)/(a_(n+1))$
Essendo $a_n$ monotona si ha:
$a_n > a_(n+1)$ da cui $(a_n)/(a_(n+1)) > 1$
Essendo inoltre $a_n$ il termine generale di una serie convergente i casi sono due:
1) $lim_n (a_n)/(a_(n+1)) = 1 $ aut 2) $lim_n (a_n)/(a_(n+1)) > 1 $
2) Nel secondo caso $lim_n ((a_n - a_(n+1) ) * n)/(a_(n+1)) = + oo$ , infatti $lim_n ((a_n)/(a_(n+1)) - 1 ) * n = +oo$
$AA M > 0 , EE bar n : AA n > bar n $ si abbia $((a_n - a_(n+1) ) * n)/(a_(n+1)) >= M$
per $M = 1$ si trova: $ n * a_n >= a_(n+1) + n * a_(n+1)$
$ n * a_n >= ( 1 + n ) * a_(n+1)$ $Rightarrow$ $n * a_n$ è definitivamente monotona decrescente.
Al momento non ho idee per dedurre qualcosa nel caso 1).
"Giuly19":No. Prendi $(log(n))/n$. Ecco il grafico della funzione $frac{log(x)}{x}$, su cui possiamo leggere i valori assunti dalla successione campionando le ascisse a intervalli unitari:
Mo dico una scemenza, ma il prodotto di due successioni monotone non è necessariamente una successione monotona (tenendo conto che $a_k>=0$)?
[asvg]xmin=0.9; xmax=20; ymin=0; ymax=0.5; axes(); plot("(log(x))/x");[/asvg]
La successione parte da $0$, poi cresce per un paio di termini, dopodiché il termine $1/n$ ha il sopravvento e la successione prende a decrescere e non la smette più.
Ok, esempio chiarissimo.
Ma se invece le due successioni crescessero o decrescessero (che brutte parole) in modo lineare, allora è vero quello che ho detto?
Salvo il caso in cui siano una il reciproco dell'altra, e in quel caso il loro prodotto sarebbe costante.
Ne ho anche un'altra: se le due successioni sono strettamente monotone non è vero nemmeno che il loro prodotto è definitivamente monotono? (questa se fosse vera andrebbe bene per la proposizione di Seneca no?)
Ma se invece le due successioni crescessero o decrescessero (che brutte parole) in modo lineare, allora è vero quello che ho detto?
Salvo il caso in cui siano una il reciproco dell'altra, e in quel caso il loro prodotto sarebbe costante.
Ne ho anche un'altra: se le due successioni sono strettamente monotone non è vero nemmeno che il loro prodotto è definitivamente monotono? (questa se fosse vera andrebbe bene per la proposizione di Seneca no?)
Correggo: l'ipotesi sulla monotonia l'ho usata sicuramente quando ho analizzato il secondo caso ( $n * a_n -> s in RR - {0}$ ), quando ho tirato in ballo la serie condensata.
Epperò $n * a_n$ deve necessariamente essere regolare sotto queste ipotesi, anche se non so dimostrarlo completamente.
Epperò $n * a_n$ deve necessariamente essere regolare sotto queste ipotesi, anche se non so dimostrarlo completamente.
Stavo rileggendo i diversi interventi.
Se ho capito bene, nel libro che tu citi, si può trovare la dimostrazione rigorosa, anche se più involuta perchè utilizza il teorema di Cauchy.
Volevi trovare una seconda dimostrazione più diretta?
Se ho capito bene, nel libro che tu citi, si può trovare la dimostrazione rigorosa, anche se più involuta perchè utilizza il teorema di Cauchy.
Volevi trovare una seconda dimostrazione più diretta?
@speculor: Nel caso non lo sapessi, il libro citato da Seneca si può consultare liberamente in rete. Puoi passare da qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387653
@tutti: Secondo me, se anche la successione $a_n$ è positiva e monotona decrescente, la successione $na_n$ non ha nessun obbligo di regolarità per $n \to \infty$. Costruire esplicitamente un controesempio non è cosa proprio immediata, però l'idea che ho è di una successione $a_n$ che per, diciamo, $2$ termini decade linearmente, poi per i successivi $4$ termini decade meno che linearmente, poi per $8$ termini decade linearmente e così via. A lume di naso, la $na_n$ non sarà regolare ad infinito.
Ma, sottolineo, a lume di naso. Questo non è affatto un vero controesempio.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387653
@tutti: Secondo me, se anche la successione $a_n$ è positiva e monotona decrescente, la successione $na_n$ non ha nessun obbligo di regolarità per $n \to \infty$. Costruire esplicitamente un controesempio non è cosa proprio immediata, però l'idea che ho è di una successione $a_n$ che per, diciamo, $2$ termini decade linearmente, poi per i successivi $4$ termini decade meno che linearmente, poi per $8$ termini decade linearmente e così via. A lume di naso, la $na_n$ non sarà regolare ad infinito.
Ma, sottolineo, a lume di naso. Questo non è affatto un vero controesempio.
Ti ringrazio vivamente.
In ogni caso se non è monotona strettamente basta prenderne una a gradini e il prodotto tra questa e $n$ sarà "a denti" quindi mai monotono..
Mi sembra strano che tra le ipotesi non ci sia almeno la monotonia stretta. (noto ora che è stretta XD)
Mi sembra strano che tra le ipotesi non ci sia almeno la monotonia stretta. (noto ora che è stretta XD)
@Dissonance: Magari non basta la stretta monotonia di $a_n$ a dedurre la regolarità di $n * a_n$, ma sicuramente l'ipotesi di convergenza della serie ha una sua parte perché alla fine, senza ombra di dubbio, $n * a_n$ ammette limite nel caso (con le ipotesi) che consideriamo, di una serie a termini positivi convergente i cui termini formino una successione monotona decrescente.
$n * a_n$ deve essere regolare.
@speculor: Non soddisfavo alcuna necessità se non quella di intrattenermi un po' con questo esercizio. Non è un dramma se poi, come penso che sia successo, la strada presa si rivela essere fastidiosamente lunga.
Grazie a tutti.
$n * a_n$ deve essere regolare.
@speculor: Non soddisfavo alcuna necessità se non quella di intrattenermi un po' con questo esercizio. Non è un dramma se poi, come penso che sia successo, la strada presa si rivela essere fastidiosamente lunga.
Grazie a tutti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo