Criterio Integrale Successioni

[devt]

Buon pomeriggio,

In questo esercizio ho un dubbio sulla rapidità di approssimazione.

Usando il criterio integrale, fornire dapprima delle stime per eccesso e per difetto della successione:

$ \sum _{k=1}^n ke^k $

e quindi utilizzare tale stime per precisare al meglio la rapidit`a di divergenza di $a_n$
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Ho calcolato $f'(x) = e^x(1+x)$ che è $ > 0 $ quindi è crescente, successivamente,

$\int _0^n (xe^x)dx <= f(k) <= \int _1^(n+1) (xe^x)dx$

Ho quindi calcolato l'integrale che vale $ e^x*x $

Ho trovato successivamente il minorante: $ e^n * n -> +infty $
Il maggiorante è invece: $ e^(n+1) - e -> +infty $

Però una volta arrivato qui non riesco a dare la stima, solitamente, negli altri esercizi, si concludeva dicendo a cosa era asintotico ogni "parte" ma qui non so cosa fare, qualche consiglio?

[killing_buddha]

Ma la successione $a_n$ è quella che manda $n$ in $\sum_{k=1}^n ke^k$, o il termine generale della serie $\sum ke^k$? Nel primo caso, è leggermente meno immediato usare il criterio integrale.

[devt]

Dall'esercizio si evince solamente questo
$ a_n = \sum _{k=1}^n ke^k $

[gully_93]

Guarda che l'integrale è $ = e^x *x -e^x +C$
Anche se in questo caso il risultato finale è invariato dopo la valutazione agli estremi dell'intervallo.

$ [e^x(x-1)] $ tra 0 ed n $ = e^n (n-1) -e^0(-1)=e^n(n-1)+1 $ asintotico $ e^n (n) $

Analogamente
$ [e^x(x-1)] $ tra 1 ed n+1 $ = e^(n+1) (n+1-1) - e^1 (0)= e^n *e *(n)= Θ(e^n (n)) $

Poichè e è costante.

Dunque per confronto, siccome la successione è compresa tra due successioni con quel comportamento, la nostra successione diverge con una rapidità $ (e^n *n )$

Ora non credo che il risultato si possa sviluppare per ottenere maggiori informazioni, anche se ho la sensazione che manchi qualcosa. Qui parla di successioni(?). Ma è meglio ascoltare il consiglio di qualcuno più esperto.