Criterio integrale per le serie

[KatieP]

Sul mio libro è enunciato così: sia $f$ una funzione decrescente in $[1 , +oo[$ . Se f è sommabile e si ha definitivamente $a_n <= f(n+1)$ la serie converge. Se invece $f$ non è sommabile e si ha definitivamente $a_n>= f(n) $ la serie diverge. Per la dimostrazione considera la funzione che a $t$ appartenete all'intervallo $[n, n+1[$ associa $g(t)= a_n$ . Quindi sostiene che in base all'ipotesi di decrescenza di $f$ si ha definitivamente che $g<=f$ se vale che $a_n <= f(n+1)$ e $g>=f$ se vale la seconda disuguaglianza di ipotesi. Ma dove si sfrutta la decrescenza? Non ho capito questo passaggio e non ho capito neanche quello successivo. Infatti la dimostrazione prosegue:a questo punto dice che la sommabilita di $g$ equivale alla convergenza della serie di termine generale $a_n$. Perché?

[Fioravante Patrone1]

nereide, stai diventando forum-dipendente

ragiona con la tua testa, fatti un disegnino (o guarda quello che è sugli appunti/libro/dispense, e se non c'è cercalo in rete) e capisci da sola come mai valgono le maggiorazioni/minorazioni che ti servono

e, poi, prova a capire (DEVI riuscirci) come mai serve la monotonia. Anche qui, fatti un disegnino

[KatieP]

Il fatto è che ci ho già provato, posto qui solo quando non ci riesco e ho un esame imminente. Ragionare con la mia testa è il principio a cui mi ispiro sempre, ma queste sono solo le cose che ho ricontrollato da più fonti e che comunque non mi sono risultate chiare. Ad ogni modo ringrazio comunque per l'aiuto, proverò da sola

[KatieP]

Ti ringrazio del suggerimento sul disegno, in effetti era banale, ho capito a che serve la monotonia. Ora provo per il resto

[Fioravante Patrone1]

buona continuazione da un prof stravecchio

hint: se una funzione non è monotona, può presentare picchi altissimi o voragini profondissime dentro un intervallo

[KatieP]

Grazie mille

[anto_zoolander]

Oltre a quanto detto, considera che $f(n)$ sarà una successione e può essere utili sulle funzioni associate a una successione che sono definite così $A(x)=f(n)forallx in[n,n+1)$

Cosa rappresenta $A(x)$? Che legame c'è tra $int_(0)^(N)A(x)dx$ e $sum_(n=0)^(N)f(n)$?
Sembrano tante domande aiutano molto, o almeno, a me hanno aiutato a comprendere meglio il significato delle serie e della relazione con gli integrali.