Criterio di Leibniz per le serie
Nella dimostrazione del criterio di Leibniz per la convergenza delle serie alternanti ad un certo punto si dice che $S_(2n)$ $<=$ $S$ $<=$ $ S_(2n+1)$ dove $S$ è la somma della serie e gli altri due estremi della disuguaglianza sono i termini generali della successione delle somme parziali di posto pari e dispari rispettivamente. Da qui si ricava che $| S - S_n| $ $<=$ $a_n$ .
Come si arriva a quest'ultimo passaggio?
Ho provato a sottrarre membro a membro $S_(2n)$ , ma ottengo la relazione $0<= S - S_(2n) <= a_(2n+1) $ . Da qui come si giunge al valore assoluto ? E poi $a_(2n+1)$ non risulta essere il termine n-simo, come quello che dovrei dimostrare, ma coincide con il primo termine trascurato approssimando $S$ con $S_(2n)$ ..
Come si arriva a quest'ultimo passaggio?
Ho provato a sottrarre membro a membro $S_(2n)$ , ma ottengo la relazione $0<= S - S_(2n) <= a_(2n+1) $ . Da qui come si giunge al valore assoluto ? E poi $a_(2n+1)$ non risulta essere il termine n-simo, come quello che dovrei dimostrare, ma coincide con il primo termine trascurato approssimando $S$ con $S_(2n)$ ..
Risposte
Sono abbastanza convinto che dovrebbe essere $|S-S_n|<=a_(n+1)$, e puoi dimostrarlo suddividendo due casi, n pari ed n dispari, sei sulla buona strada per dimostrarlo per n pari.
Per l'altro caso posso sottrarre $S_(2n+1)$ e cambiando i segni e invertendo la disuguaglianza $0<= S_(2n+1) - S <= a_(2n +1)$ . In questo caso però $a_(2n+1)$ non è il primo termine trascurato da $S_(2n+1)$ , ma è il suo ultimo termine. Quindi perché dovrebbe essere $| S - S_n| <= a_(n+1) $ ?
In effetti quella disuguaglianza non basta, devi sapere che (e lo deduci facilmente da quella) che $AAn,k\inNN S_(2n)<=S<=S_(2k+1)$, da cui $AAn\inNN, S_(2n)<=S<=S_(2n-1)$, quindi........ continua tu.
Non capisco il perché del $k$ nella prima disuguaglianza, perché viene scelto un altro parametro invece di $n$ ? Forse è perché se la successione delle somme di indice dispari ha come estremo inferiore $S$ , qualsiasi altro termine , che non sia direttamente il successivo rispetto a $S_(2n)$, rispetta la disuguaglianza?
Per dire che qualsiasi ridotta di indice dispari è maggiore della somma.
grazie mille
