Criterio di Leibniz e lemma che non quadra(?)
Salve,
la mia prof di analisi, prima di dimostrare il criterio di Leibniz enuncia questo lemma:
Sia $(a_n)_n$ una successione reale. Siano $(a_(n_k))_k$ e $(a_(m_k))_k$ due successioni estratte dalla successione di partenza tali che il loro limite appariente ad $RR$ e sia uguale per tutte e due.
Allora possiamo dire che: ${n_k | k in NN} uuu { m_k | k in NN} = NN$
E' vero questo lemma?
Poi volevo chiedervi un' altra cosa (che suppongo sia collegata con questo lemma):
quando si dimostra il criterio di Leibniz, si fa vedere che esistono due successioni estratte una di indice pari e una di indice dispari tali che il loro limite è uguale. A questo punto perchè si può dire che la successione $s_n$ delle somme parziali ha lo stesso limite?
Non bisognerebbe dimostrare che TUTTE le successioni estratte convergono allo stesso limite? Non ne possono bastare solo due!
la mia prof di analisi, prima di dimostrare il criterio di Leibniz enuncia questo lemma:
Sia $(a_n)_n$ una successione reale. Siano $(a_(n_k))_k$ e $(a_(m_k))_k$ due successioni estratte dalla successione di partenza tali che il loro limite appariente ad $RR$ e sia uguale per tutte e due.
Allora possiamo dire che: ${n_k | k in NN} uuu { m_k | k in NN} = NN$
E' vero questo lemma?
Poi volevo chiedervi un' altra cosa (che suppongo sia collegata con questo lemma):
quando si dimostra il criterio di Leibniz, si fa vedere che esistono due successioni estratte una di indice pari e una di indice dispari tali che il loro limite è uguale. A questo punto perchè si può dire che la successione $s_n$ delle somme parziali ha lo stesso limite?
Non bisognerebbe dimostrare che TUTTE le successioni estratte convergono allo stesso limite? Non ne possono bastare solo due!
Risposte
"_luca94_":
E' vero questo lemma?
No! Prendi una successione costante, i termini pari ed i termini multipli di \( 3 \), ed hai un controesempio."_luca94_":
(...) esistono due successioni estratte una di indice pari e una di indice dispari tali che il loro limite è uguale. A questo punto perchè si può dire che la successione $s_n$ delle somme parziali ha lo stesso limite?
Non bisognerebbe dimostrare che TUTTE le successioni estratte convergono allo stesso limite? Non ne possono bastare solo due!
Questo è un altro paio di maniche, \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \); prova a pensare perché in questo caso qualsiasi successione estratta starà definitivamente in un intorno del limite (tra l'altro non è necessario dimostrare questo, puoi direttamente dimostrare che la successione di partenza sta definitivamente in un intorno del limite delle due successioni estratte e che quindi ammette limite per definizione).
"Epimenide93":
[quote="_luca94_"]
E' vero questo lemma?
No! Prendi una successione costante, i termini pari ed i termini multipli di \( 3 \), ed hai un controesempio."_luca94_":
(...) esistono due successioni estratte una di indice pari e una di indice dispari tali che il loro limite è uguale. A questo punto perchè si può dire che la successione $s_n$ delle somme parziali ha lo stesso limite?
Non bisognerebbe dimostrare che TUTTE le successioni estratte convergono allo stesso limite? Non ne possono bastare solo due!
Questo è un altro paio di maniche, \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \); prova a pensare perché in questo caso qualsiasi successione estratta starà definitivamente in un intorno del limite (tra l'altro non è necessario dimostrare questo, puoi direttamente dimostrare che la successione di partenza sta definitivamente in un intorno del limite delle due successioni estratte e che quindi ammette limite per definizione).[/quote]
Si infatti! Sicuramente avrò omesso di copiare dalla lavagna che le successioni del lemma erano $2n$ e $2n+1$
Ma ancora non ho ben capito una cosa
Potresti esplicitarmi la dimostrazione? Come faccio a dire che da un certo indice in poi la successione di partenza è in un intorno del limite delle estratte?
Poi un altra cosa, se non chiedo troppo. Come dimostreresti formalmente che \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \)?
Rispondo alle domande in ordine inverso per una questione logica.
Detti \[
P := \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} = \{n \in \mathbb{N} : n \equiv 0 (mod \ 2) \} \\
D := \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \{ n \in \mathbb{N} : n \equiv 1 (mod \ 2) \}
\]
si ha che \( P \subseteq \mathbb{N} \ {\rm e} \ D \subseteq \mathbb{N} \Rightarrow P \cup D \subseteq \mathbb{N} \) e al contempo per il Teorema di Divisione Euclidea \( \forall n \in \mathbb{N} : n \equiv 0 (mod \ 2) \ {\rm o} \ n \equiv 1 (mod \ 2) \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N} : n \in P \ {\rm o} \ n \in D \) \(\Rightarrow \ \forall n \in \mathbb{N} : n \in P \cup D \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq P \cup D \), la tesi segue dalla doppia inclusione.
Sai che \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n} = l \) e \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n+1} = l \), ovvero, per definizione
\[
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \nu : n > \nu \Rightarrow a_{2n} \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
{\rm e} \\
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \xi : n > \xi \Rightarrow a_{2n + 1} \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
\]
da ciò e da \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \) deduci tranquillamente che
\[
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \eta = \max \{ \nu, \xi \} : n > \eta \Rightarrow a_n \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
\iff \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = l
\]
che è la tua tesi.
"_luca94_":
Come dimostreresti formalmente che \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \)?
Detti \[
P := \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} = \{n \in \mathbb{N} : n \equiv 0 (mod \ 2) \} \\
D := \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \{ n \in \mathbb{N} : n \equiv 1 (mod \ 2) \}
\]
si ha che \( P \subseteq \mathbb{N} \ {\rm e} \ D \subseteq \mathbb{N} \Rightarrow P \cup D \subseteq \mathbb{N} \) e al contempo per il Teorema di Divisione Euclidea \( \forall n \in \mathbb{N} : n \equiv 0 (mod \ 2) \ {\rm o} \ n \equiv 1 (mod \ 2) \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N} : n \in P \ {\rm o} \ n \in D \) \(\Rightarrow \ \forall n \in \mathbb{N} : n \in P \cup D \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq P \cup D \), la tesi segue dalla doppia inclusione.
"_luca94_":
Potresti esplicitarmi la dimostrazione? Come faccio a dire che da un certo indice in poi la successione di partenza è in un intorno del limite delle estratte?
Poi un altra cosa, se non chiedo troppo. Come dimostreresti formalmente che \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \)?
Sai che \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n} = l \) e \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n+1} = l \), ovvero, per definizione
\[
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \nu : n > \nu \Rightarrow a_{2n} \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
{\rm e} \\
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \xi : n > \xi \Rightarrow a_{2n + 1} \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
\]
da ciò e da \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \) deduci tranquillamente che
\[
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \eta = \max \{ \nu, \xi \} : n > \eta \Rightarrow a_n \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
\iff \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = l
\]
che è la tua tesi.
"Epimenide93":
Rispondo alle domande in ordine inverso per una questione logica.
[quote="_luca94_"]Come dimostreresti formalmente che \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \)?
Detti \[
P := \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} = \{n \in \mathbb{N} : n \equiv 0 (mod \ 2) \} \\
D := \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \{ n \in \mathbb{N} : n \equiv 1 (mod \ 2) \}
\]
si ha che \( P \subseteq \mathbb{N} \ {\rm e} \ D \subseteq \mathbb{N} \Rightarrow P \cup D \subseteq \mathbb{N} \) e al contempo per il Teorema di Divisione Euclidea \( \forall n \in \mathbb{N} : n \equiv 0 (mod \ 2) \ {\rm o} \ n \equiv 1 (mod \ 2) \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N} : n \in P \ {\rm o} \ n \in D \) \(\Rightarrow \ \forall n \in \mathbb{N} : n \in P \cup D \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq P \cup D \), la tesi segue dalla doppia inclusione.
"_luca94_":
Potresti esplicitarmi la dimostrazione? Come faccio a dire che da un certo indice in poi la successione di partenza è in un intorno del limite delle estratte?
Poi un altra cosa, se non chiedo troppo. Come dimostreresti formalmente che \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \)?
Sai che \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n} = l \) e \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n+1} = l \), ovvero, per definizione
\[
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \nu : n > \nu \Rightarrow a_{2n} \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
{\rm e} \\
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \xi : n > \xi \Rightarrow a_{2n + 1} \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
\]
da ciò e da \( \{ 2n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2n+1 : n \in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \) deduci tranquillamente che
\[
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \ \exists \eta = \max \{ \nu, \xi \} : n > \eta \Rightarrow a_n \in \ ]l - \varepsilon , l + \varepsilon[ \\
\iff \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = l
\]
che è la tua tesi.[/quote]
Grazie mille, gentilissimo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo