Criterio di Leibniz
Desidero porre due dubbi che mi sono venuti e di cui non riesco a trovare risposta ne sul libro di testo, ne sulla rete:
1) Nella risoluzione delle serie numeriche a segno alternato è possibile in generare ricorrere al criterio del rappporto, anzichè a Leibniz, oppure si commette errore nell'applicare il criterio del rapporto?
2) quando una delle due condizioni del criterio di Leibniz non sono rispettate è corretto supporre esclusivamente la non applicabilità del criterio, oppure posso dedurre la divergenza della serie?
Grazie mille
1) Nella risoluzione delle serie numeriche a segno alternato è possibile in generare ricorrere al criterio del rappporto, anzichè a Leibniz, oppure si commette errore nell'applicare il criterio del rapporto?
2) quando una delle due condizioni del criterio di Leibniz non sono rispettate è corretto supporre esclusivamente la non applicabilità del criterio, oppure posso dedurre la divergenza della serie?
Grazie mille
Risposte
"jozoa":
1) Nella risoluzione delle serie numeriche a segno alternato è possibile in generare ricorrere al criterio del rappporto, anzichè a Leibniz, oppure si commette errore nell'applicare il criterio del rapporto?
Per rispondere a questa domanda basta che tieni presenti le ipotesi del criterio del rapporto.
"jozoa":
2) quando una delle due condizioni del criterio di Leibniz non sono rispettate è corretto supporre esclusivamente la non applicabilità del criterio, oppure posso dedurre la divergenza della serie?
Il criterio non fornisce condizioni necessarie. Se non sono rispettate le ipotesi non significa che la serie diverga (ricordati che l"aut aut" per le serie vale solo per quelle a termini di segno definitivamente costante).
Il criterio del rapporto parla di serie a termini positivi, però non sono sicuro che non si possa applicare anche a quelle con termini a segno alterno. Nel dubbio dire di no.
In ogni caso Leibniz è più "accomodante" degli altri criteri, nel senso che considera solo la successione $|a_n|$ senza altre operazioni da fare come rapporto a radice.
Cioè avendo una serie a segni alterni conviene provare con Leibniz perchè ha più probabilità di successo.
In ogni caso Leibniz è più "accomodante" degli altri criteri, nel senso che considera solo la successione $|a_n|$ senza altre operazioni da fare come rapporto a radice.
Cioè avendo una serie a segni alterni conviene provare con Leibniz perchè ha più probabilità di successo.
"Quinzio":
In ogni caso Leibniz è più "accomodante" degli altri criteri, nel senso che considera solo la successione $|a_n|$ senza altre operazioni da fare come rapporto a radice.
Cioè avendo una serie a segni alterni conviene provare con Leibniz perchè ha più probabilità di successo.
Non sono d'accordo... Spesso non è banale verificare la monotonia del termine generale.
E cosa significa che ha "più probabilità di successo"?
"Seneca":
[quote="Quinzio"]In ogni caso Leibniz è più "accomodante" degli altri criteri, nel senso che considera solo la successione $|a_n|$ senza altre operazioni da fare come rapporto a radice.
Cioè avendo una serie a segni alterni conviene provare con Leibniz perchè ha più probabilità di successo.
Non sono d'accordo... Spesso non è banale verificare la monotonia del termine generale.
E cosa significa che ha "più probabilità di successo"?[/quote]
Ok ok è un concetto poco matematico....
Volevo solo dire che con Leibniz devi solo guardare cosa fa la successione dei termini assoluti... senza complicazione di rapporti con fattoriali, radici, e ammenicoli vari.
Non nel senso che è più facile stabilire la convergenza.
Credo che abbia senso per questo motivo considerare anche Leibniz...
Forse mi spiego male o sono in errore. E' solo una considerazione.
"Quinzio":
Credo che abbia senso per questo motivo considerare anche Leibniz...
Veramente non capisco... I criteri che hai citato (rapporto, radice, ... ) si applicano alle serie di segno definitivamente costante.
Leibniz invece è comodo per le serie a termini di segno alternato è questo il motivo della sua importanza; non è "più vantaggioso" di quelli per le serie a termini positivi.
Grazie mille, Seneca.
Il dubbio mi era nato studiando la serie $ sum_(n = 2) (-1)^nln n/n^(a-1) $ .
In questo caso (correggetemi se sbaglio) la successione non è decrescente, quindi non posso applicare Leibniz.
A questo punto provo con il metodo della convergenza assoluta.
Mi sorge però ora un altro dubbio: andando a studiare la convergenza di $ sum_(n = 2) |ln n/n^(a-1)| $ , utilizzando il criterio del confronto asintotico con la successione $ 1/n^k $ trovo che deve essere: a-1+k>0, con k>1.
Di conseguenza la serie sopra citata mi risulta convergere per a>2.
D'altro canto il risultato differente trovato sul testo mi fa presupporre qualche errore. Qulacuno ha qualche suggerimento?
Grazie ancora!!
Il dubbio mi era nato studiando la serie $ sum_(n = 2) (-1)^nln n/n^(a-1) $ .
In questo caso (correggetemi se sbaglio) la successione non è decrescente, quindi non posso applicare Leibniz.
A questo punto provo con il metodo della convergenza assoluta.
Mi sorge però ora un altro dubbio: andando a studiare la convergenza di $ sum_(n = 2) |ln n/n^(a-1)| $ , utilizzando il criterio del confronto asintotico con la successione $ 1/n^k $ trovo che deve essere: a-1+k>0, con k>1.
Di conseguenza la serie sopra citata mi risulta convergere per a>2.
D'altro canto il risultato differente trovato sul testo mi fa presupporre qualche errore. Qulacuno ha qualche suggerimento?
Grazie ancora!!
Attenzione... Il termine generale che è richiesto decrescente è $ln n/n^(a-1)$ , escluso il fattore $(-1)^n$. Prova a stabilire per quali valori di $a$ , $ln n/n^(a-1)$ è infinitesimo e monotono decrescente; nota che la cosa importante è che la successione $ln n/n^(a-1)$ sia monotona definitivamente, cioè da un certo $bar n$ in poi. Non occorre che lo sia $AA n in NN$.
Comunque, solitamente, prima ancora di applicare Leibniz, si prova a studiare l'assoluta convergenza (può essere conveniente e può risparmiarti qualche fatica). Se non converge assolutamente, passi a Leibniz per provare se converge semplicemente.
Venendo ai tuoi calcoli ... Come hai applicato il criterio del confronto asintotico? $ln(n)/n^(a-1)$, per $a - 1 > 1$ , a mio avviso non è confrontabile con $1/n^k$.
Comunque, solitamente, prima ancora di applicare Leibniz, si prova a studiare l'assoluta convergenza (può essere conveniente e può risparmiarti qualche fatica). Se non converge assolutamente, passi a Leibniz per provare se converge semplicemente.
Venendo ai tuoi calcoli ... Come hai applicato il criterio del confronto asintotico? $ln(n)/n^(a-1)$, per $a - 1 > 1$ , a mio avviso non è confrontabile con $1/n^k$.
Ok, la successione è infinitesima per $ a>1 $ ed è definitivamente decrescente (decresce a partire da $ n=3 $ ). Grazie ancora Seneca!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo