Criterio di Leibniz
ho guardato su due libri diversi, ma tutte e due lo dimostran allo stesso modo... io ho trovato una dimostrazione di una riga, volevo proporvela... mi pare giusta
dimostrazione usando il criterio di Cauchy, che essendo serie reali, è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza delle serie
criterio di Cauchy: $AAepsilon>0$ esiste $p_0:AAp>p_0,AAq>0=>|sum_(n=p)^(p+q)a_n|\<\epsilon$
quindi abbiamo
$|sum_(n=1)^(2k)=(-1)^na_n-sum_(n=1)^(k-1)=(-1)^na_n|=|sum_(n=k)^(2k)=(-1)^na_n|=|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|
per il punto ii) possiamo maggiorare tutto con $|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)|*k/2$, ipotiziamo che k sia pari (altrimenti k+1 sarebbe pari, è uguale) possiamo riscrivere tutto come $|a_k-a_(k+1)|*k/2$
per il punto i) la serie è a termini positivi, quindi esite $k_0:AAk>k_0=>a_k-a_(k+1)\<\epsilon$ quindi tutta la differenza è minore di $kepsilon=epsilon'$ e quindi rispetta la condizione di Cauchy.
che ne pensate?

Criterio di Leibniz se una serie $sum_(n=0)^oo(-1)^na_n$ soddisfa i)$a_n>0AAn ii)$a_n+1<a_n iii)$a_n->0,n->+oo allora converge
dimostrazione usando il criterio di Cauchy, che essendo serie reali, è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza delle serie
criterio di Cauchy: $AAepsilon>0$ esiste $p_0:AAp>p_0,AAq>0=>|sum_(n=p)^(p+q)a_n|\<\epsilon$
quindi abbiamo
$|sum_(n=1)^(2k)=(-1)^na_n-sum_(n=1)^(k-1)=(-1)^na_n|=|sum_(n=k)^(2k)=(-1)^na_n|=|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|
per il punto ii) possiamo maggiorare tutto con $|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)|*k/2$, ipotiziamo che k sia pari (altrimenti k+1 sarebbe pari, è uguale) possiamo riscrivere tutto come $|a_k-a_(k+1)|*k/2$
per il punto i) la serie è a termini positivi, quindi esite $k_0:AAk>k_0=>a_k-a_(k+1)\<\epsilon$ quindi tutta la differenza è minore di $kepsilon=epsilon'$ e quindi rispetta la condizione di Cauchy.
che ne pensate?
Risposte
"fu^2":
ho guardato su due libri diversi, ma tutte e due lo dimostran allo stesso modo... io ho trovato una dimostrazione di una riga, volevo proporvela... mi pare giusta![]()
Criterio di Leibniz se una serie $sum_(n=0)^oo(-1)^na_n$ soddisfa i)$AAn in NN, a_n>0$ ii)$AA n in NN, a_n>a_(n+1)$ iii)$lim_(nto +oo)a_n=0$ allora essa converge
dimostrazione usando il criterio di Cauchy, che essendo serie reali, è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza delle serie
criterio di Cauchy: $AAepsilon>0$ esiste $p_0:AAp>p_0,AAq>0=>|sum_(n=p)^(p+q)a_n|\<\epsilon$
quindi abbiamo
$|sum_(n=1)^(2k)=(-1)^na_n-sum_(n=1)^(k-1)=(-1)^na_n|=|sum_(n=k)^(2k)=(-1)^na_n|=|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|
per il punto ii) possiamo maggiorare tutto con $|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)|*k/2$, ipotiziamo che k sia pari (altrimenti k+1 sarebbe pari, è uguale) possiamo riscrivere tutto come $|a_k-a_(k+1)|*k/2$
per il punto i) la serie è a termini positivi, quindi esite $k_0:AAk>k_0=>a_k-a_(k+1)\<\epsilon$ quindi tutta la differenza è minore di $kepsilon=epsilon'$ e quindi rispetta la condizione di Cauchy.
che ne pensate?
La parte dopo il quindi non la capisco. Forse hai scritto male il codice mathml?
Poi chi è $k$?
Perchè nel valore assoluto usi la somma $\sum_n^oo$ quando non sai nemmeno se tale somma esiste finita? (OK, questo è stato corretto da fu^2 in fase di Edit)
si hjo fatto casino col codice ora edito

"fu^2":
quindi abbiamo
$|sum_(n=1)^(2k)=(-1)^na_n-sum_(n=1)^(k-1)=(-1)^na_n|=|sum_(n=k)^(2k)=(-1)^na_n|=|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|
per il punto ii) possiamo maggiorare tutto con $|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)|*k/2$
Il ragionamento fila solo se $k$ è pari.
Tra $a_k$ ed $a_(2k)$ ci sono esattamente $k$ termini e perciò puoi raggrupparli a due a due scrivendo:
(*) $quad AA k " pari, " |sum_(n=1)^(2k)(-1)^na_n-sum_(n=1)^k(-1)^na_n|=|(-1)^(k+1)a_(k+1)+(-1)^(k+2)a_(k+2)+(-1)^(k+3)a_(k+3)+(-1)^(k+4)a_(k+4)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|le$
$le |(-1)^(k+1)a_(k+1)+(-1)^(k+2)a_(k+2)|+|(-1)^(k+3)a_(k+3)+(-1)^(k+4)a_(k+4)|+\ldots +|(-1)^(2k-1)a_(2k-1)+(-1)^(2k)a_(2k)|=|a_(k+1)-a_(k+2)|+|a_(k+3)-a_(k+4)|+\ldots +|a_(2k-1)-a_(2k)|$.
Fin qui ci siamo, almeno per $k$ pari.
Però la maggiorazione $a_(k+1)-a_(k+2)ge a_(k+3)-a_(k+4)$ non la vedo: come la ricavi da $a_(k+1)>a_(k+2)>a_(k+3)>a_(k+4)$?
Si può facilmente produrre un controesempio: $26/9>5/2>2>1$, ma $1=2-1>26/9-5/2=7/18$. (Questo fatto vale per ogni addendo dell'ultimo membro di (*).)
Al massimo puoi maggiorare ogni addendo con $a_(k+1)-a_(2k)$... Così la tua dimostrazione comincerebbe a funzionare: troveresti una maggiorazione del tipo $k/2*(a_(k+1)-a_(2k))$, a quel punto dovresti invocare una proprietà dell'estremo inferiore e poi concludere che per $k$ pari vale il criterio di Cauchy.
Dovresti poi ricavare una maggiorazione analoga per il caso $k$ dispari, invocare di nuovo la proprietà dell'estremo inferiore (due volte) e concludere che anche per $k$ dispari vale il criterio di Cauchy.
Però, fin qui non hai dimostrato nulla!
Infatti il criterio di Cauchy deve valere per ogni scelta di $p,q in NN$ con $p>p_0$, non solo per $p=k=q$: il succo del criterio di Cauchy è trovare una minorazione per $p$ che sia indipendente da $q$.

a ok ho capito... ora allora ci penserò su
grazie mille
ps una cosa $8/9>5/2$ è falso... è falso anche $8/9>2$
quella la ricavo per ipotesi la successione è monotona decrescente, quindi $a_n>a_(n+1)$

grazie mille
ps una cosa $8/9>5/2$ è falso... è falso anche $8/9>2$
quella la ricavo per ipotesi la successione è monotona decrescente, quindi $a_n>a_(n+1)$
"fu^2":
a ok ho capito... ora allora ci penserò su![]()
grazie mille
ps una cosa $8/9>5/2$ è falso... è falso anche $8/9>2$
quella la ricavo per ipotesi la successione è monotona decrescente, quindi $a_n>a_(n+1)$
Volevo scrivere $26/9$.

Ho editato.
co0munque $AA$ scelta di p e q nel mio caso, seguendo le stesse maggiorazioni funziona ancora tutto... posto che $|p-q|$ sia pari.
se fosse dispari allora basta maggiorare con la stessa maggiorazione e l'ultimo addendo sommarlo di nuovo, poi quindi rimaggiorare con un'altra coppia aggiuntiva di $p-q+1$ e ci si riporta al caso come se fosse $|p-q|$ pari.
(maggiorando come hai detto te con le coppie $a_k-a_(2k)$)
quindi utilizziam k per semplicità, però se notiam al posto di k metterci due generici p e q, basta valutare la loro differenza...
giusto?...
grazie

edit: son riuscito a generalizzare un pò... ora però ci penso bene e domani la posto, così mi potrai dire "giusto"
ciaoo
se fosse dispari allora basta maggiorare con la stessa maggiorazione e l'ultimo addendo sommarlo di nuovo, poi quindi rimaggiorare con un'altra coppia aggiuntiva di $p-q+1$ e ci si riporta al caso come se fosse $|p-q|$ pari.
(maggiorando come hai detto te con le coppie $a_k-a_(2k)$)
quindi utilizziam k per semplicità, però se notiam al posto di k metterci due generici p e q, basta valutare la loro differenza...
giusto?...
grazie

edit: son riuscito a generalizzare un pò... ora però ci penso bene e domani la posto, così mi potrai dire "giusto"


ciaoo
ecco la dimostrazione alla luce degli accorgimenti apportati da gugo
Teorema di Cauchy per le serie:
"condizione necessaria e sufficiente affinchè una serie converga è che $AA\epsilon\>0EEn_0:AAn>n_0,AAq>0=>|sum_(p=n)^(n+q)a_p|<\epsilon$"
quindi poniamo $m=n+q=>|sum_(p=n)^(m)(-1)^pa_p|=|(-1)^(n)a_n+...+(-1)^(m)a_m|$(*)
caso 1. $m,n$ discordi tra loro, allora (*)$<|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m)a_m|*|m-n|$
quindi $EEn_0:AAm,n>n_0=>|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m)a_m|<\epsilon$ quindi fissato $epsilon'=epsilon*|n-m|=>$(*)$
caso 2. $m,n$ concordi tra loro, allora (*)$<(|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|+|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|)*|m-n|$
ovviamente $|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|>|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|$ in quanto $a_p$ è una successione decrescente. quindi come nel caso 1 $EEn_0:AA(m-1),n>n_0=>|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|<\epsilon$
quindi
$(|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|+|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|)<2epsilon$
quindi fissato $epsilon'=2epsilon*|n-m|=>$(*)$
quindi per ogni scelta di m,n la serie rispetta la condizione di Cauchy e quindi converge.
Ora è meglio vero?...

Teorema di Cauchy per le serie:
"condizione necessaria e sufficiente affinchè una serie converga è che $AA\epsilon\>0EEn_0:AAn>n_0,AAq>0=>|sum_(p=n)^(n+q)a_p|<\epsilon$"
quindi poniamo $m=n+q=>|sum_(p=n)^(m)(-1)^pa_p|=|(-1)^(n)a_n+...+(-1)^(m)a_m|$(*)
caso 1. $m,n$ discordi tra loro, allora (*)$<|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m)a_m|*|m-n|$
quindi $EEn_0:AAm,n>n_0=>|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m)a_m|<\epsilon$ quindi fissato $epsilon'=epsilon*|n-m|=>$(*)$
ovviamente $|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|>|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|$ in quanto $a_p$ è una successione decrescente. quindi come nel caso 1 $EEn_0:AA(m-1),n>n_0=>|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|<\epsilon$
quindi
$(|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|+|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|)<2epsilon$
quindi fissato $epsilon'=2epsilon*|n-m|=>$(*)$
quindi per ogni scelta di m,n la serie rispetta la condizione di Cauchy e quindi converge.
Ora è meglio vero?...
Al posto di concordi userei "con la stessa parità" (ossia entrambi pari od entrambi dispari) ed al posto di discordi userei "con parità diverse"
"gugo82":
Al posto di concordi userei "con la stessa parità" (ossia entrambi pari od entrambi dispari) ed al posto di discordi userei "con parità diverse"
queste son sottiliezze







aspetto un si o un no

Innanzitutto tra $m$ ed $n$, estremi compresi, ci sono $m-n+1$ numeri naturali (nel criterio di Cauchy ti è concesso di fissare $m>n$ e quindi puoi eliminare il v.a.) e non $m-n$: quindi se $m,n$ hanno la stessa parità [risp. parità diverse] tra loro sono compresi un numero dispari [risp. pari] di numeri naturali.
Ne viene che puoi scomporre il v.a. della somma in una somma con $[(m-n+1)/2]+1$ v.a. se $m,n$ hanno la stessa parità con l'ultimo addendo uguale a $|(-1)^m*a_m|$, quindi la maggiorazione da te svolta nel caso 2. non è corretta.
D'altra parte se $m,n$ hanno la stessa parità il v.a. della somma si spezza in somma di $(m-n+1)/2$ v.a..
Non è affatto vero.
Prendi $m=n+2$ e poni $a_n=5 > a_(n+1)=9/2 >a_(n+2)=1/2$ e calcola $|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|=1/2$, $|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|=4$ con $4>1/2$.
Una relazione come quella che hai scritto sopra non puoi provarla solo con la decrescenza di $(a_n)$.
Ammesso e non concesso che sia valida, essa è valida definitivamente e non globalmente.
Ne viene che puoi scomporre il v.a. della somma in una somma con $[(m-n+1)/2]+1$ v.a. se $m,n$ hanno la stessa parità con l'ultimo addendo uguale a $|(-1)^m*a_m|$, quindi la maggiorazione da te svolta nel caso 2. non è corretta.
D'altra parte se $m,n$ hanno la stessa parità il v.a. della somma si spezza in somma di $(m-n+1)/2$ v.a..
"fu^2":
$|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|>|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|$ in quanto $a_p$ è una successione decrescente
Non è affatto vero.
Prendi $m=n+2$ e poni $a_n=5 > a_(n+1)=9/2 >a_(n+2)=1/2$ e calcola $|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|=1/2$, $|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|=4$ con $4>1/2$.
Una relazione come quella che hai scritto sopra non puoi provarla solo con la decrescenza di $(a_n)$.
Ammesso e non concesso che sia valida, essa è valida definitivamente e non globalmente.
si ok n+1... però poni n=n+1 come ho scritto e tutto torna come prima quando discuti i segni non trovi? (per il caso 1)
per il caso 2. allora ci devo pensare ancora un attimo...
grazie
per il caso 2. allora ci devo pensare ancora un attimo...
grazie
Se posso darti un consiglio, fu^2, non ti incaponire.
Una dimostrazione che usi il Criterio di Cauchy, sebbene possibile e corretta, è lunga e pedantesca.
La dimostrazione che hai trovato sui testi (suppongo sia quella che procede mostrando che le successioni delle somme parziali pari e dispari sono monotone e limitate) è, al contrario, semplicissima.
Una dimostrazione che usi il Criterio di Cauchy, sebbene possibile e corretta, è lunga e pedantesca.
La dimostrazione che hai trovato sui testi (suppongo sia quella che procede mostrando che le successioni delle somme parziali pari e dispari sono monotone e limitate) è, al contrario, semplicissima.

ok, ma per il caso che m,n han segni concordi almeno va bene?...(messo quel +1 nella differenza dei numeri...)
volevo solo provare... se non si prova non si capiscono bene gli errori e si capisce meglio le cose o no
grazie ancora
volevo solo provare... se non si prova non si capiscono bene gli errori e si capisce meglio le cose o no

grazie ancora
"fu^2":
ok, ma per il caso che m,n han segni concordi almeno va bene?...(messo quel +1 nella differenza dei numeri...)
Devi decidere se usare sempre $n$ o sempre $n+1$.
Se aumenti l'indice sposti la questione sull'altro caso, quindi non risolvi nulla.
"fu^2":
volevo solo provare... se non si prova non si capiscono bene gli errori e si capisce meglio le cose o no
grazie ancora
Sono daccordo, infatti non ti ho detto di desistere, né di non provare.
Pensa che tra i miei colleghi sono famoso perchè mi aggiusto sempre le dimostrazioni che non mi garbano (di solito le rendo più difficili: quelli che hanno studiato dai miei appunti di Analisi te lo potrebbero confermare!

Il consiglio era di non incaponirti: se non ti trovi ora lascia riposare la questione e riprendila tra qualche giorno/settimana/mese (casomai dopo aver fatto l'esame di Analisi!).

"Gugo82":
[quote="fu^2"]ok, ma per il caso che m,n han segni concordi almeno va bene?...(messo quel +1 nella differenza dei numeri...)
Devi decidere se usare sempre $n$ o sempre $n+1$.
Se aumenti l'indice sposti la questione sull'altro caso, quindi non risolvi nulla.
"fu^2":
volevo solo provare... se non si prova non si capiscono bene gli errori e si capisce meglio le cose o no
grazie ancora
Sono daccordo, infatti non ti ho detto di desistere, né di non provare.
Pensa che tra i miei colleghi sono famoso perchè mi aggiusto sempre le dimostrazioni che non mi garbano (di solito le rendo più difficili: quelli che hanno studiato dai miei appunti di Analisi te lo potrebbero confermare!

Il consiglio era di non incaponirti: se non ti trovi ora lascia riposare la questione e riprendila tra qualche giorno/settimana/mese (casomai dopo aver fatto l'esame di Analisi!).

ok rimanderò dopo mercoledì allora



bene allora risolto quel problema almeno il primo passo è fatto

grazie
