Criterio di Leibniz

fu^2
ho guardato su due libri diversi, ma tutte e due lo dimostran allo stesso modo... io ho trovato una dimostrazione di una riga, volevo proporvela... mi pare giusta :D

Criterio di Leibniz
se una serie $sum_(n=0)^oo(-1)^na_n$ soddisfa
i)$a_n>0AAn
ii)$a_n+1<a_n
iii)$a_n->0,n->+oo
allora converge


dimostrazione usando il criterio di Cauchy, che essendo serie reali, è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza delle serie
criterio di Cauchy: $AAepsilon>0$ esiste $p_0:AAp>p_0,AAq>0=>|sum_(n=p)^(p+q)a_n|\<\epsilon$

quindi abbiamo
$|sum_(n=1)^(2k)=(-1)^na_n-sum_(n=1)^(k-1)=(-1)^na_n|=|sum_(n=k)^(2k)=(-1)^na_n|=|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|
per il punto ii) possiamo maggiorare tutto con $|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)|*k/2$, ipotiziamo che k sia pari (altrimenti k+1 sarebbe pari, è uguale) possiamo riscrivere tutto come $|a_k-a_(k+1)|*k/2$
per il punto i) la serie è a termini positivi, quindi esite $k_0:AAk>k_0=>a_k-a_(k+1)\<\epsilon$ quindi tutta la differenza è minore di $kepsilon=epsilon'$ e quindi rispetta la condizione di Cauchy.




che ne pensate?

Risposte
gugo82
"fu^2":
ho guardato su due libri diversi, ma tutte e due lo dimostran allo stesso modo... io ho trovato una dimostrazione di una riga, volevo proporvela... mi pare giusta :D

Criterio di Leibniz
se una serie $sum_(n=0)^oo(-1)^na_n$ soddisfa
i)$AAn in NN, a_n>0$
ii)$AA n in NN, a_n>a_(n+1)$
iii)$lim_(nto +oo)a_n=0$
allora essa converge


dimostrazione usando il criterio di Cauchy, che essendo serie reali, è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza delle serie
criterio di Cauchy: $AAepsilon>0$ esiste $p_0:AAp>p_0,AAq>0=>|sum_(n=p)^(p+q)a_n|\<\epsilon$

quindi abbiamo
$|sum_(n=1)^(2k)=(-1)^na_n-sum_(n=1)^(k-1)=(-1)^na_n|=|sum_(n=k)^(2k)=(-1)^na_n|=|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|
per il punto ii) possiamo maggiorare tutto con $|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)|*k/2$, ipotiziamo che k sia pari (altrimenti k+1 sarebbe pari, è uguale) possiamo riscrivere tutto come $|a_k-a_(k+1)|*k/2$
per il punto i) la serie è a termini positivi, quindi esite $k_0:AAk>k_0=>a_k-a_(k+1)\<\epsilon$ quindi tutta la differenza è minore di $kepsilon=epsilon'$ e quindi rispetta la condizione di Cauchy.




che ne pensate?

La parte dopo il quindi non la capisco. Forse hai scritto male il codice mathml?
Poi chi è $k$?
Perchè nel valore assoluto usi la somma $\sum_n^oo$ quando non sai nemmeno se tale somma esiste finita? (OK, questo è stato corretto da fu^2 in fase di Edit)

fu^2
si hjo fatto casino col codice ora edito :wink:

gugo82
"fu^2":

quindi abbiamo
$|sum_(n=1)^(2k)=(-1)^na_n-sum_(n=1)^(k-1)=(-1)^na_n|=|sum_(n=k)^(2k)=(-1)^na_n|=|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|
per il punto ii) possiamo maggiorare tutto con $|(-1)^ka_k+(-1)^(k+1)a_(k+1)|*k/2$

Il ragionamento fila solo se $k$ è pari.
Tra $a_k$ ed $a_(2k)$ ci sono esattamente $k$ termini e perciò puoi raggrupparli a due a due scrivendo:

(*) $quad AA k " pari, " |sum_(n=1)^(2k)(-1)^na_n-sum_(n=1)^k(-1)^na_n|=|(-1)^(k+1)a_(k+1)+(-1)^(k+2)a_(k+2)+(-1)^(k+3)a_(k+3)+(-1)^(k+4)a_(k+4)+...+(-1)^(2k)a_(2k)|le$
$le |(-1)^(k+1)a_(k+1)+(-1)^(k+2)a_(k+2)|+|(-1)^(k+3)a_(k+3)+(-1)^(k+4)a_(k+4)|+\ldots +|(-1)^(2k-1)a_(2k-1)+(-1)^(2k)a_(2k)|=|a_(k+1)-a_(k+2)|+|a_(k+3)-a_(k+4)|+\ldots +|a_(2k-1)-a_(2k)|$.

Fin qui ci siamo, almeno per $k$ pari.
Però la maggiorazione $a_(k+1)-a_(k+2)ge a_(k+3)-a_(k+4)$ non la vedo: come la ricavi da $a_(k+1)>a_(k+2)>a_(k+3)>a_(k+4)$?
Si può facilmente produrre un controesempio: $26/9>5/2>2>1$, ma $1=2-1>26/9-5/2=7/18$. (Questo fatto vale per ogni addendo dell'ultimo membro di (*).)

Al massimo puoi maggiorare ogni addendo con $a_(k+1)-a_(2k)$... Così la tua dimostrazione comincerebbe a funzionare: troveresti una maggiorazione del tipo $k/2*(a_(k+1)-a_(2k))$, a quel punto dovresti invocare una proprietà dell'estremo inferiore e poi concludere che per $k$ pari vale il criterio di Cauchy.
Dovresti poi ricavare una maggiorazione analoga per il caso $k$ dispari, invocare di nuovo la proprietà dell'estremo inferiore (due volte) e concludere che anche per $k$ dispari vale il criterio di Cauchy.

Però, fin qui non hai dimostrato nulla!
Infatti il criterio di Cauchy deve valere per ogni scelta di $p,q in NN$ con $p>p_0$, non solo per $p=k=q$: il succo del criterio di Cauchy è trovare una minorazione per $p$ che sia indipendente da $q$. :-D

fu^2
a ok ho capito... ora allora ci penserò su :wink:
grazie mille

ps una cosa $8/9>5/2$ è falso... è falso anche $8/9>2$
quella la ricavo per ipotesi la successione è monotona decrescente, quindi $a_n>a_(n+1)$

gugo82
"fu^2":
a ok ho capito... ora allora ci penserò su :wink:
grazie mille

ps una cosa $8/9>5/2$ è falso... è falso anche $8/9>2$
quella la ricavo per ipotesi la successione è monotona decrescente, quindi $a_n>a_(n+1)$

Volevo scrivere $26/9$. :oops:

Ho editato.

fu^2
co0munque $AA$ scelta di p e q nel mio caso, seguendo le stesse maggiorazioni funziona ancora tutto... posto che $|p-q|$ sia pari.
se fosse dispari allora basta maggiorare con la stessa maggiorazione e l'ultimo addendo sommarlo di nuovo, poi quindi rimaggiorare con un'altra coppia aggiuntiva di $p-q+1$ e ci si riporta al caso come se fosse $|p-q|$ pari.
(maggiorando come hai detto te con le coppie $a_k-a_(2k)$)

quindi utilizziam k per semplicità, però se notiam al posto di k metterci due generici p e q, basta valutare la loro differenza...
giusto?...

grazie

:wink:

edit: son riuscito a generalizzare un pò... ora però ci penso bene e domani la posto, così mi potrai dire "giusto" :-D :-D

ciaoo

fu^2
ecco la dimostrazione alla luce degli accorgimenti apportati da gugo :wink:

Teorema di Cauchy per le serie:
"condizione necessaria e sufficiente affinchè una serie converga è che $AA\epsilon\>0EEn_0:AAn>n_0,AAq>0=>|sum_(p=n)^(n+q)a_p|<\epsilon$"

quindi poniamo $m=n+q=>|sum_(p=n)^(m)(-1)^pa_p|=|(-1)^(n)a_n+...+(-1)^(m)a_m|$(*)


caso 1. $m,n$ discordi tra loro, allora (*)$<|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m)a_m|*|m-n|$
quindi $EEn_0:AAm,n>n_0=>|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m)a_m|<\epsilon$ quindi fissato $epsilon'=epsilon*|n-m|=>$(*)$ caso 2. $m,n$ concordi tra loro, allora (*)$<(|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|+|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|)*|m-n|$

ovviamente $|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|>|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|$ in quanto $a_p$ è una successione decrescente. quindi come nel caso 1 $EEn_0:AA(m-1),n>n_0=>|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|<\epsilon$
quindi
$(|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|+|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|)<2epsilon$
quindi fissato $epsilon'=2epsilon*|n-m|=>$(*)$
quindi per ogni scelta di m,n la serie rispetta la condizione di Cauchy e quindi converge.


Ora è meglio vero?...

gugo82
Al posto di concordi userei "con la stessa parità" (ossia entrambi pari od entrambi dispari) ed al posto di discordi userei "con parità diverse"

fu^2
"gugo82":
Al posto di concordi userei "con la stessa parità" (ossia entrambi pari od entrambi dispari) ed al posto di discordi userei "con parità diverse"


queste son sottiliezze :-D se si arriva a tanto allora il resto va bene presumo.... :-D :-D :-D :-D :-D :-D

aspetto un si o un no :wink:

gugo82
Innanzitutto tra $m$ ed $n$, estremi compresi, ci sono $m-n+1$ numeri naturali (nel criterio di Cauchy ti è concesso di fissare $m>n$ e quindi puoi eliminare il v.a.) e non $m-n$: quindi se $m,n$ hanno la stessa parità [risp. parità diverse] tra loro sono compresi un numero dispari [risp. pari] di numeri naturali.
Ne viene che puoi scomporre il v.a. della somma in una somma con $[(m-n+1)/2]+1$ v.a. se $m,n$ hanno la stessa parità con l'ultimo addendo uguale a $|(-1)^m*a_m|$, quindi la maggiorazione da te svolta nel caso 2. non è corretta.
D'altra parte se $m,n$ hanno la stessa parità il v.a. della somma si spezza in somma di $(m-n+1)/2$ v.a..

"fu^2":
$|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|>|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|$ in quanto $a_p$ è una successione decrescente

Non è affatto vero.

Prendi $m=n+2$ e poni $a_n=5 > a_(n+1)=9/2 >a_(n+2)=1/2$ e calcola $|(-1)^(n)a_n+(-1)^(m-1)a_(m-1)|=1/2$, $|(-1)^(m-1)a_(m-1)+(-1)^(m)a_(m)|=4$ con $4>1/2$.

Una relazione come quella che hai scritto sopra non puoi provarla solo con la decrescenza di $(a_n)$.
Ammesso e non concesso che sia valida, essa è valida definitivamente e non globalmente.

fu^2
si ok n+1... però poni n=n+1 come ho scritto e tutto torna come prima quando discuti i segni non trovi? (per il caso 1)

per il caso 2. allora ci devo pensare ancora un attimo...

grazie

gugo82
Se posso darti un consiglio, fu^2, non ti incaponire.

Una dimostrazione che usi il Criterio di Cauchy, sebbene possibile e corretta, è lunga e pedantesca.
La dimostrazione che hai trovato sui testi (suppongo sia quella che procede mostrando che le successioni delle somme parziali pari e dispari sono monotone e limitate) è, al contrario, semplicissima. :-D

fu^2
ok, ma per il caso che m,n han segni concordi almeno va bene?...(messo quel +1 nella differenza dei numeri...)

volevo solo provare... se non si prova non si capiscono bene gli errori e si capisce meglio le cose o no ;)

grazie ancora

gugo82
"fu^2":
ok, ma per il caso che m,n han segni concordi almeno va bene?...(messo quel +1 nella differenza dei numeri...)

Devi decidere se usare sempre $n$ o sempre $n+1$.
Se aumenti l'indice sposti la questione sull'altro caso, quindi non risolvi nulla.

"fu^2":
volevo solo provare... se non si prova non si capiscono bene gli errori e si capisce meglio le cose o no ;)

grazie ancora

Sono daccordo, infatti non ti ho detto di desistere, né di non provare.
Pensa che tra i miei colleghi sono famoso perchè mi aggiusto sempre le dimostrazioni che non mi garbano (di solito le rendo più difficili: quelli che hanno studiato dai miei appunti di Analisi te lo potrebbero confermare! :smt082 )

Il consiglio era di non incaponirti: se non ti trovi ora lascia riposare la questione e riprendila tra qualche giorno/settimana/mese (casomai dopo aver fatto l'esame di Analisi!). :wink:

fu^2
"Gugo82":
[quote="fu^2"]ok, ma per il caso che m,n han segni concordi almeno va bene?...(messo quel +1 nella differenza dei numeri...)

Devi decidere se usare sempre $n$ o sempre $n+1$.
Se aumenti l'indice sposti la questione sull'altro caso, quindi non risolvi nulla.

"fu^2":
volevo solo provare... se non si prova non si capiscono bene gli errori e si capisce meglio le cose o no ;)

grazie ancora

Sono daccordo, infatti non ti ho detto di desistere, né di non provare.
Pensa che tra i miei colleghi sono famoso perchè mi aggiusto sempre le dimostrazioni che non mi garbano (di solito le rendo più difficili: quelli che hanno studiato dai miei appunti di Analisi te lo potrebbero confermare! :smt082 )

Il consiglio era di non incaponirti: se non ti trovi ora lascia riposare la questione e riprendila tra qualche giorno/settimana/mese (casomai dopo aver fatto l'esame di Analisi!). :wink:[/quote]

ok rimanderò dopo mercoledì allora :D :D :D
bene allora risolto quel problema almeno il primo passo è fatto :D

grazie :D

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