Criterio di Lebesgue per integrazione
Secondo me in questo elaborato c'è un errore, alla fine:
https://www.math.ru.nl/~mueger/Lebesgue.pdf
Le definizioni sono:
$$S_\epsilon:=\{x\in [a,b]|\omega(f;x)>\epsilon>0\} $$
dove \(\displaystyle \omega(f;x) \) è l'oscillazione di $f$ in $x$, definita come limite partendo dalla definizione di oscillazione in un insieme \(\displaystyle \omega(f;E):=\sup_{x_1,x_2\in E}|f(x_1)-f(x_2)| \):
$$ \omega(f;x) :=\lim_{\delta \to 0^+}\omega (f;U_{[a,b]}^\delta (x))$$
con \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) intorno di $x$ in $[a,b]$ ampio $\delta$.
Lo vedete anche voi un problema in quella dimostrazione o lo vedo solo io? Non ha tenuto conto del fatto che passando al limite il \(\displaystyle > \) diventa \(\displaystyle \geq \), il che compromette tutta la dimostrazione.
https://www.math.ru.nl/~mueger/Lebesgue.pdf
Le definizioni sono:
$$S_\epsilon:=\{x\in [a,b]|\omega(f;x)>\epsilon>0\} $$
dove \(\displaystyle \omega(f;x) \) è l'oscillazione di $f$ in $x$, definita come limite partendo dalla definizione di oscillazione in un insieme \(\displaystyle \omega(f;E):=\sup_{x_1,x_2\in E}|f(x_1)-f(x_2)| \):
$$ \omega(f;x) :=\lim_{\delta \to 0^+}\omega (f;U_{[a,b]}^\delta (x))$$
con \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) intorno di $x$ in $[a,b]$ ampio $\delta$.
Lo vedete anche voi un problema in quella dimostrazione o lo vedo solo io? Non ha tenuto conto del fatto che passando al limite il \(\displaystyle > \) diventa \(\displaystyle \geq \), il che compromette tutta la dimostrazione.
Risposte
Secondo me hai ragione. Basta ridefinire $S_{\epsilon}$ con il $\ge$ e non con il $>$, come fanno ad esempio qua, proposizione 2.5. Poi
qua devi decidere una forma per \( U_{[a,b]}^\delta (x) \), perché se no il limite non puoi farlo.
"Ianero":
[...] con \( \displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) intorno di $ x $ in $ [a,b] $ ampio $ \delta $. [...]
qua devi decidere una forma per \( U_{[a,b]}^\delta (x) \), perché se no il limite non puoi farlo.
Grazie per il riscontro @Bremen000, domani leggo il link e ti faccio sapere.
Intanto, riguardo a questo:
intendi dire che dovevo specificare che \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) è centrato in $x$ (ad esempio)? Altrimenti \(\displaystyle \omega (f;U_{[a,b]}^\delta (x)) \) non sarebbe proprio una funzione di \(\displaystyle \delta \)?
Se era questo, hai perfettamente ragione.
Se volevi dire altro, illuminami
Intanto, riguardo a questo:
"Bremen000":
qua devi decidere una forma per \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \), perché se no il limite non puoi farlo.
intendi dire che dovevo specificare che \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) è centrato in $x$ (ad esempio)? Altrimenti \(\displaystyle \omega (f;U_{[a,b]}^\delta (x)) \) non sarebbe proprio una funzione di \(\displaystyle \delta \)?
Se era questo, hai perfettamente ragione.
Se volevi dire altro, illuminami
Volevo dire esattamente quello 
Mezza nota terminologica: [ot]Questo teorema si chiama teorema di Vitali & Lebesgue.
La Proposizione 1 è il criterio di Riemann.[/ot]
La Proposizione 1 è il criterio di Riemann.[/ot]
Grazie.
@Bremen000 credo di essermi sbloccato, ti ringrazio. Magari se esce qualche altro casino riprovo a rompere le scatole qui, ma spero di no dai.
@Bremen000 credo di essermi sbloccato, ti ringrazio. Magari se esce qualche altro casino riprovo a rompere le scatole qui, ma spero di no dai.
Tranquillo, è sempre un piacere!
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