Criterio di convergenza di Cauchy per le serie numeriche.

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jellybean22

5 dic 2012, 18:39

Salve a tutti. Ho delle difficoltà nel comprendere il significato del criterio di Cauchy applicato alle serie. Per ipotesi suppongo di avere una serie $S_n=\sum_{k=1}^infty a_k$. La serie non è altro che una successione i cui termini sono le somme parziali (correggetemi se dico qualcosa di teoricamente errato). Quindi tale successione $S_n$ è convergente se e solo se è di Cauchy. Quindi per ogni $epsilon>0$ esiste un indice $n_epsilon$ a partire dal quale per ogni $n,m>n_epsilon$ si ha che $|S_m-S_n| Ad esempio se volessi dimostrare che la serie armonica non converge tramite il criterio di Cauchy; come dovrei applicarlo?

Grazie a tutti.

Nota:Aggiunte correzzioni.

Risposte

Quinzio

5 dic 2012, 18:19

Il criterio di Cauchy è utile per dimostrare la convergenza di una serie, tu vorresti dimostrare la non convergenza della serie armonica.

Zero87

5 dic 2012, 18:21

Un piccolo appunto: con $S_n$ non indichi tutta la serie (per quella si usa un generico $S$ per quanto so). Nel tuo caso, vedendo quello che scrivi dopo (nel criterio di Cauchy), suppongo che sia una distrazione e che tu supponga
$S_n =\sum_(k=1)^n a_k$ (infatti l'indice $n$ sull'$S$ indica dove "fermi" la somma parziale).

"JellyBean22":
Ora non capisco questo passaggio: $|\sum_{k=1}^(m+n)a_k-\sum_{k=1}^na_k|=|\sum_{k=n+1}^(n+p)a_k|

Pensa la serie in questo modo
$\sum_(k=1)^(n+p) a_k =\sum_(k=1)^n a_k + \sum_(k=n+1)^(n+p) a_k$
fino ad ora ho solo "spezzato la serie", dividendola in 2 (è pur sempre una somma, tieni a mente, ad esempio, $(a+b+c+d)=(a+b)+(c+d)$).

In seguito, quando sottrai ottieni
$\sum_(k=1)^(n+p) a_k-\sum_(k=1)^(n) a_k = \sum_(k=1)^n a_k + \sum_(k=n+1)^(n+p) a_k - \sum_(k=1)^n a_k=\sum_(k=n+1)^(n+p) a_k$
questo perché i due termini uguali si elidono.

Detto terra terra ($^1$), se hai due serie con eguali indici, sfrutti la seguente
$\sum_(k=1)^n a_k +- \sum_(k=1)^n b_k =\sum_(k=1)^n (a_k +- b_k)$
se, invece, hai due serie con indici differenti, se un insieme di indici contiene l'altro spezzi quello più ampio come ho fatto io (in pratica, ${1,...,n+p}={1,...,n}\cup {n+1,...,n+p}$).

Ciao

($^1$) Se quello che ho scritto da qua in poi ti confonde solo le idee, fermati a quello che ho scritto prima .