Criterio di convergenza delle serie di Leibniz: quale conv.?
Salve gente,
Il criterio di Leibniz dice che se una successione numerica a segno alterno è decrescente e infinitesima ,allora converge.
Io vorrei capire di che tipo di convergenza si tratta: puntuale, uniforme, assoluta o totale???
Il criterio di Leibniz dice che se una successione numerica a segno alterno è decrescente e infinitesima ,allora converge.
Io vorrei capire di che tipo di convergenza si tratta: puntuale, uniforme, assoluta o totale???
Risposte
"fbcyborg":
assoluta o totale???
Ti suggerirei di riflettere su quello che scrivi.
Scusa cosa cambia? Nel caso di serie numeriche le 4 convergenze si riducono a 2: puntuale e assoluta. Perché le altre, tipiche di serie di funzioni (serie il cui termine generale varia in un insieme) sono fortemente legate all'insieme stesso su cui vengono analizzate. Una serie numerica non varia un accidente.
"Fioravante Patrone":
[quote="fbcyborg"]assoluta o totale???
Ti suggerirei di riflettere su quello che scrivi.[/quote]
E' abbastanza evidente che se chiedo non so, e forse ho qualche dubbio.
Sto trattando le serie di funzioni, però ho citato la successione numerica, pensando che non cambiasse molto...
D'accordo che per quanto riguarda la convergenza assoluta o totale sicuramente sono stato precipitoso nello scrivere. Però l'ho nominate tutte poiché sono i "4 casi" che si possono presentare.
Allora andiamo con un esempio che ho trovato:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$ con $x\in[0,1]=I$
Ho letto che la serie converge uniformemente in tutto I, poiché è una serie di Leibniz.
Il criterio di Leibniz mi dice solo che converge. Chi ha scritto questo esempio, come ha fatto a dire che converge anche uniformemente?
Forse mancherà qualche passaggio però la cosa non mi torna.
Forse, con il criterio di Leibniz so che converge (e non mi interessa sapere che tipo di convergenza è, dal momento che devo studiare proprio la convergenza?) e forse devo studiare la successione di funzioni per dire se converge uniformemente?
Scusate se sono confuso, ma non vedo alternative se non chiedere chiarimenti e aiuto.
In generale Leibniz assicura la convergenza in ogni punto di I che è esattamente quello che chiamiamo convergenza puntuale. Per parlare di convergenza uniforme devi far vedere appunto che le serie numeriche ottenute valorizzando la x con tutti i valori in I convergono in modo uniforme tra loro (la definizione la conosci). Quindi devi aggiungere qualcosa. Ad esempio puoi riutilizzare il criterio di Leibniz nella sua seconda parte, quella che dà una stima sul resto della serie.
Ho capito grazie!
Quindi in pratica per dire che converge uniformemente, dovrei vedere quanto vale la stima del resto e vedere che essa converge uniformemente a 0. Quindi converge uniformemente anche la serie iniziale..
Ecco.. quì mi sorge un altro dubbio.. Per dire che converge uniformemente, allora, non basta studiare la convergenza di $f_n(x)$, invece di ricorrere alla stima del resto?
Quindi in pratica per dire che converge uniformemente, dovrei vedere quanto vale la stima del resto e vedere che essa converge uniformemente a 0. Quindi converge uniformemente anche la serie iniziale..
Ecco.. quì mi sorge un altro dubbio.. Per dire che converge uniformemente, allora, non basta studiare la convergenza di $f_n(x)$, invece di ricorrere alla stima del resto?
Attenzione a non far confusione tra serie e successione di funzioni. In particolare stai attento che i resti non formano una serie ma una successione, almeno nella forma in cui li scriviamo naturalmente.
Per la seconda cosa, che informazioni vuoi trarre dallo studio di $f_n$?
Per la seconda cosa, che informazioni vuoi trarre dallo studio di $f_n$?
Dunque,
sto trattando le serie di funzioni.
Riepilogando, premesso che i miei dubbi erano sorti dal criterio di convergenza di Leibniz, ovvero non capivo di che tipo di convergenza si parlasse quando si dice "Data una serie di termini a segno alternato $a_0-a_1+a_2-a_3+...+(-1)^n a_n+...$, con $a_n>0$ se $\lim_{n} a_n = 0$ $AAn\in NN$ e se $a_{n+1}\leq a_n$ allora la serie converge", a questo punto non capisco come si procede, se devo studiare la convergenza della serie che ho riportato nel precedente post. Io tipicamente, calcolo il raggio di convergenza, vedo se vale il teorema di Abel, ecc.. invece quì si va a vedere quanto vale il resto.
Non volevo fare confusione fra serie e successioni, però pensavo che per dire se la serie converge uniformemente, avrei dovuto prendere la $f_n$ della serie e vedere come si comporta. Ho sempre fatto un po' di confusione con questi concetti.. non ho ancora capito qual'è il modo standard per studiare la convergenza delle serie perché una volta vedo che si fa in un modo, una volta in un altro.
sto trattando le serie di funzioni.
Riepilogando, premesso che i miei dubbi erano sorti dal criterio di convergenza di Leibniz, ovvero non capivo di che tipo di convergenza si parlasse quando si dice "Data una serie di termini a segno alternato $a_0-a_1+a_2-a_3+...+(-1)^n a_n+...$, con $a_n>0$ se $\lim_{n} a_n = 0$ $AAn\in NN$ e se $a_{n+1}\leq a_n$ allora la serie converge", a questo punto non capisco come si procede, se devo studiare la convergenza della serie che ho riportato nel precedente post. Io tipicamente, calcolo il raggio di convergenza, vedo se vale il teorema di Abel, ecc.. invece quì si va a vedere quanto vale il resto.
Non volevo fare confusione fra serie e successioni, però pensavo che per dire se la serie converge uniformemente, avrei dovuto prendere la $f_n$ della serie e vedere come si comporta. Ho sempre fatto un po' di confusione con questi concetti.. non ho ancora capito qual'è il modo standard per studiare la convergenza delle serie perché una volta vedo che si fa in un modo, una volta in un altro.
Più semplicemente: qual é la definizione di convergenza uniforme per serie di fz?
La serie converge uniformemente se $(S_n(x))_{n\inNN}$ converge uniformemente in A sottoinsieme di I (che è un sottoinsieme di $RR$). Dove $(S_n(x))_{n\inNN}$ è la successione delle somme parziali $n$-esime.
Per questo pensavo che la $(S_n(x))_{n\inNN}$ fosse la mia successione di funzioni di cui studiarne la convergenza uniforme. Se converge uniformemente questa successione di funzioni allora converge uniformemente anche la serie iniziale. Ditemi che è così sennò non c'ho capito niente sul serio, e non so come vedere se la serie converge uniformemente. L'unica cosa che ho capito (e spero di non sbagliarmi anche qui) è che se il teorema di Abel è verificato, ovvero che se la serie converge sugli estremi dell'intervallo allora converge uniformemente in tutto l'intervallo.
Per questo pensavo che la $(S_n(x))_{n\inNN}$ fosse la mia successione di funzioni di cui studiarne la convergenza uniforme. Se converge uniformemente questa successione di funzioni allora converge uniformemente anche la serie iniziale. Ditemi che è così sennò non c'ho capito niente sul serio, e non so come vedere se la serie converge uniformemente. L'unica cosa che ho capito (e spero di non sbagliarmi anche qui) è che se il teorema di Abel è verificato, ovvero che se la serie converge sugli estremi dell'intervallo allora converge uniformemente in tutto l'intervallo.
Ok, la definizione é corretta. Tuttavia esiste un'altra definizione equivalente (prova a dimostrare l'equivalenza) che è molto utile per verificare l'uniforme convergenza:
$sum_nf_n$ converge uniformemente in A se $AA epsilon EE nu in NN AA n>=nu AA x in A |sum_{k=n+1}^inftyf_k(x)|
Prova a dimostrare l'equivalenza delle due definizioni e poi ripensa a quello che ti ho detto sulla stima del resto nel teorema di Leibniz.
$sum_nf_n$ converge uniformemente in A se $AA epsilon EE nu in NN AA n>=nu AA x in A |sum_{k=n+1}^inftyf_k(x)|
Prova a dimostrare l'equivalenza delle due definizioni e poi ripensa a quello che ti ho detto sulla stima del resto nel teorema di Leibniz.
L'equivalenza non la saprei dimostrare. Purtroppo sono un po' negato in queste cose.. Comunque, mi sembra di capire che questa definizione dica che da un certo indice in poi, il modulo "della parte finale" (o forse proprio del Resto) converge. Quindi se converge il resto allora converge uniformemente anche la serie iniziale.
Spero di aver colto, almeno a parole, qualche analogia con la definizione che avevo riportato in precedenza.
Spero di aver colto, almeno a parole, qualche analogia con la definizione che avevo riportato in precedenza.
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