Criterio di continuità per una funzione

[Seneca1]

Esercizio. Siano $X, Y$ spazi topologici arbitrari e sia $f : X -> Y$ un'applicazione. Allora se $ \forall A \subset X$ sottoinsieme si ha $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ $\Rightarrow$ $f$ è continua.

Per assurdo: supponiamo $f$ non continua; allora esisterebbe $U$ aperto di $f(X)$ tale che $f^{-1}(U)$ non è aperto in $X$. Allora $G = X \setminus f^{-1}(U)$ non è chiuso in $X$, cioè posso prendere $\xi \in \overline{G} \setminus G$.
Naturalmente $\xi \in f^{-1}(U)$, quindi $f(\xi) \in U$, quindi $f(\xi)$ è un punto interno di $U$. D'altra parte $f(\xi) \in f(\overline{G}) \subset \overline{f(G)}$ (usando l'ipotesi). Allora $f(\xi)$ è tale che $\forall T_{f(\xi)} \subset f(X)$ intorno aperto di $f(\xi)$, $T_{f(\xi)} \cap f( X \setminus f^{-1}(U)) \ne \emptyset$; ma $f( X \setminus f^{-1}(U)) \cap U = \emptyset$ cioè $f( X \setminus f^{-1}(U)) \subset f(X) \setminus U$. Sicché $f(\xi)$ non è un punto interno di $U$.
Allora $f$ è continua.

Vi torna?

Comunque ho messo la soluzione in spoiler nel caso qualcuno volesse esercitarsi per diletto.

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