Criterio di condensazione
ceri ragazzi sono nuova di qui ma ho bisogno di una grande mano riguardante la dimostrazione del criterio di condensazione delle serie.Vi ricordo il teorema:
" sia (an) una successione decrescente, con an>0 per ogni n.
La serie ak converge se e solo se converge la serie 2^k*a2^k"
(scusate gli errori di scrittura ma non ho capito come scriverli)
La mia dim. comincia con il porre tm=alla somma parziale 2^k*a2^k e con sn la successione delle somme parziali della serie ak. Poichè le serie considerate sono a termini non negativi, ci basterà dim che per ogni n
s < t <2*s
2^n-1 n-1 2^(n-1)
Ora la mia domanda è : perchè ci basta dim questa disuguaglianza???
Grazie mille per l'aiuto....
Risposte
ma è possibile che essuno mi può dare una mano??????????
mi spiace ma non l'ho mai fatta questa dimostrazione. su internet non c'è?
no mi dispiace su internet non c'è. il bello è che sono andata anche dal prof. è non mi ha saputo dire il perchè.
comunque grazie lo stess.
un bacio
comunque grazie lo stess.
un bacio
come sei andata dal prof e non ti ha saputo dire il perchè?come fa a non saperlo?
non lo so ma il bello è che gli appunti li ha scritti lui.......
purtroppo questo è il bello di studiare in una città di poco valore scientifico.
purtroppo questo è il bello di studiare in una città di poco valore scientifico.
"gigia":
non lo so ma il bello è che gli appunti li ha scritti lui.......
purtroppo questo è il bello di studiare in una città di poco valore scientifico.
bo
ciao
per piacere leggiti qui https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287 come postare con MathML
i tuoi messaggi appariranno molto più fluidi!
vediamo...
bisogna dimostrare che se $a_1>a_2>.....>a_n>0$ (la positività è fondamentale!)
$sum 2^k a_(2^k)$ convergente implica $sum a_k$ convergente
chiamiamo $s_n=a_1...+a_n$ la successione delle somme parziali
$t_n=a_1+2a_2+4a_4...+2^n a_(2^n)$ lo stesso per la condensata
è evidente che $s_n
ciao
i tuoi messaggi appariranno molto più fluidi!
vediamo...
bisogna dimostrare che se $a_1>a_2>.....>a_n>0$ (la positività è fondamentale!)
$sum 2^k a_(2^k)$ convergente implica $sum a_k$ convergente
chiamiamo $s_n=a_1...+a_n$ la successione delle somme parziali
$t_n=a_1+2a_2+4a_4...+2^n a_(2^n)$ lo stesso per la condensata
è evidente che $s_n
ciao
ciao Gigia,
ti propongo una dimostrazione (ke penso sia un po'come quella ke dovevi fare con quella disuguaglianza):
Consideriamo la successione $a_1 , a_2 , a_3 , ...$ monotona decrescente e a termini positivi.
Poniamo le due somme parziali: $s_n = sum_(k=1)^n a_k$ e $v_n = sum_(k=0)^n 2^k a_(2^k)$ .
Per K,N numeri naturali tali che $2^(K-1) < N <= 2^K$ valgono:
(1) $s_N <= s_(2^K) <= a_1 + v_(K-1)$
(2) $s_N >= s_(2^(K-1)) >= a_1/2 + v_(K-1)/2$
(la seconda parte delle disuguaglianze non facilissima da vedere...ma sviluppando qualche termine della serie, e considerando ke la successione decresce, risulta chiaro.
Cmq, per esempio in (2), $a_1/2$ non è indispensabile..., ma è giusto per avere un intera parte del termine $a_1$ )
Per finire, con (1) abbiamo che se $v_K$ è limitata, lo è pure $s_N$; e viceversa con (2).
Dunque se una converge, converge anche l'altra. (somme parziali monotone crescenti e limitate => serie è convergente !!)
Se c'è qc che non ti è chiaro gigia, fammi sapere.
buona giornata
ti propongo una dimostrazione (ke penso sia un po'come quella ke dovevi fare con quella disuguaglianza):
Consideriamo la successione $a_1 , a_2 , a_3 , ...$ monotona decrescente e a termini positivi.
Poniamo le due somme parziali: $s_n = sum_(k=1)^n a_k$ e $v_n = sum_(k=0)^n 2^k a_(2^k)$ .
Per K,N numeri naturali tali che $2^(K-1) < N <= 2^K$ valgono:
(1) $s_N <= s_(2^K) <= a_1 + v_(K-1)$
(2) $s_N >= s_(2^(K-1)) >= a_1/2 + v_(K-1)/2$
(la seconda parte delle disuguaglianze non facilissima da vedere...ma sviluppando qualche termine della serie, e considerando ke la successione decresce, risulta chiaro.
Cmq, per esempio in (2), $a_1/2$ non è indispensabile..., ma è giusto per avere un intera parte del termine $a_1$ )
Per finire, con (1) abbiamo che se $v_K$ è limitata, lo è pure $s_N$; e viceversa con (2).
Dunque se una converge, converge anche l'altra. (somme parziali monotone crescenti e limitate => serie è convergente !!)
Se c'è qc che non ti è chiaro gigia, fammi sapere.
buona giornata
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