Criterio di cauchy per le successioni

[process11]

Ho un dubbio su un passaggio della dimostrazione del criterio di cauchy, che ricordo dice:

Una successione di numeri reali ${a_n}$ converge se e solo se $AA epsilon >0 EE m in NN | n',n'' >= m rArr |a_n' - a_n''|<= epsilon$

Ora una volta dimostrato che essere di cauchy implica la limitatezza della successione, il teorema di bolzano- weierstrass mi dice che esiste una sottosuccessione ${a_(nk)}$ che converge ad un numero reale c.
Ora se si prova che ogni altra sottosuccessione converge allo stesso c, la dimostrazione è conclusa. Sia ${a_n^j}$ un' altra sottosuccessione, fisso $epsilon >0$ e sia $m$ come nella definizione. Qui c'è il passaggio che non capisco: il libro mi dice che:
Siano $bar j, bar k in NN$ tali che

$n_(bar k)>= m, |a_(n bar k) -c|<= epsilon, j>= bar j rArr n^j >=m $ .Perché posso prenderli cosi?

[DajeForte]

Inanzitutto ti basta considerare direttamente la successione $a_n$ invece che una sua sottosuccessione $a_{n_j}$.
Detto questo vuoi dimostrare che $|a_n-a|< 2 varepsilon$ per ogni n maggiore di un certo N.
Prendi N=m. Per ogni n > N, c'è un indice $n_k$ che verifica entrambe le di diseguaglianze:
$|a_n-a_{n_k}|< varepsilon $ e $ |a_{n_k}-c|< varepsilon$.

Dalla disuguaglianza triangolare ottieni la tesi.